La primera pregunta que se me ocurre aquí es si cualquier cilindro que toque(en 4 puntos) la circunferencia de la esfera y no salga de ella, tiene igual volumen?
En segundo lugar, ¿cómo puedo limitar matemáticamente el volumen del cilindro para que sea menor que el de una esfera? ¿Teorema de la compresión?
Por favor, ayuda, ¡gracias!
Dejemos que $R$ sea el radio de la esfera y que $h$ sea la altura del cilindro centrado en el centro de la esfera. Por el teorema de Pitágoras, el radio del cilindro viene dado por $$ r^2 = R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2. $$
Por lo tanto, el volumen del cilindro es $$ \begin{align} V &= \pi r^2 h\\ &= \pi \left(h R^2 - \frac{h^3}{4}\right). \end{align} $$
Diferenciando con respecto a $h$ y que equivale a $0$ para encontrar los extremos da $$ \frac{dV}{dh}=\pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0\\ \therefore h_0 = \frac{2R}{\sqrt{3}} $$
La segunda derivada del volumen con respecto a $h$ es negativo si $h>0$ tal que el volumen es máximo en $h = h_0$ . La sustitución da como resultado $$ V_{max}=\frac{4 \pi R^3}{3\sqrt{3}}. $$
Una pista: En el contexto de un curso de cálculo, creo que primero se espera que argumentes informalmente que dicho cilindro máximo debe tener un eje que pase por el centro de la circunferencia, y que sin pérdida de generalidad ese eje es el $z$ -eje.
Supongamos ahora que el cilindro se encuentra con el $x$ - $y$ plano en un círculo de radio $t$ . Encuentre la altura del cilindro en términos de $t$ y, por tanto, el volumen. Ahora utiliza las herramientas ordinarias para maximizar.
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