$n!+1$ siendo un cuadrado perfecto

Question

Se observa que \begin{equation*} 4!+1 =25=5^{2},~5!+1=121=11^{2} \end{equation*} es un cuadrado perfecto. Del mismo modo, para $n=7$ también vemos que $n!+1$ es un cuadrado perfecto. Así que uno puede preguntar la verdad de esta pregunta:

• Es $n!+1$ un cuadrado perfecto para infinitos $n$ ? Si es así, entonces cómo demostrarlo.

Answer 1

Este es el problema de Brocard, y sigue abierto.

http://en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem

Answer 2

La secuencia de factoriales $n!+1$ que también son cuadrados perfectos es aquí en Sloane . Contiene tres términos, y señala que no hay más términos a continuación $(10^9)!+1$ pero que yo sepa no hay pruebas.

Answer 3

Mi intuición sería que hay muy pocos. Simplemente no hay muchos cuadrados y aún menos factoriales. OEIS A025494 enumera los cuadrados que son una suma de factoriales distintos, lo que es menos restrictivo que lo que pides y dice que la lista es probablemente finita. En particular, ¡no hay más por debajo de 31!