El lagrangiano no es único

Question

Si $L$ es un Lagrangiano para un sistema de n grados de libertad que satisface las ecuaciones de Lagrange, demuestre por sustitución directa que $$L' = L + \frac{\mathrm{d}F(q_1,\dots,q_n,t)}{\mathrm{d}t}$$ también satisface la ecuación de Lagrange donde $F$ es cualquier función arbitraria, pero diferenciable de sus argumentos.

Así que creo que tengo todo correcto, excepto que no sé por qué el último paso se desvanece?

\begin{align} \frac{d}{dt}&\frac{\partial M}{\partial \dot{q_j}} - \frac{\partial M}{\partial q_j} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial(L + \mathrm{d}F(q_1,\dots,q_n,t)/\mathrm{d}t)}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial(L + \mathrm{d}F(q_1,\dots,q_n,t)/\mathrm{d}t)}{\partial \dot q_j}\\ &= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j}\right) +\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial}{\partial \dot q_j}\frac{\mathrm{d}F(q_1,\dots,q_n,t)}{\mathrm{d}t}\right) \\ &\qquad-\left(\frac{\partial}{\partial q_j}\frac{\mathrm{d}F(q_1,\dots,q_n,t)}{\mathrm{d}t}\right)\tag{1} \end{align}

Por la regla de la cadena tenemos $$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} = \Sigma_i \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q_i} \ + \frac{\partial F}{\partial t}$$

Aviso ya que $L$ satisface la ecuación de Euler-Lagrange las dos primeras componentes de la ecuación (1) desaparecen. Así que la ecuación (1) se convierte en

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial}{\partial \dot q_j}\left(\Sigma_i \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q_i} \ + \frac{\partial F}{\partial t}\right)\right) -\frac{\partial}{\partial q_j}\left(\Sigma_i \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q_i} \ + \frac{\partial F}{\partial t}\right) \tag{2}$$

Entonces, ¿por qué desaparece la Ec. (2)? ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

Una pista: Teniendo en cuenta que $F$ no tiene una dependencia explícita de $\dot{q}_i$ , resuelve el primer término de la última ecuación que has escrito. Mostrando lo siguiente, el camino hacia la respuesta queda muy claro.

\begin{align*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{q}_j}\left(\sum_i\frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial F}{\partial t}\right)\right)&=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial q_j}\right) \end{align*}