¿Es cierto que los grupos $\langle a,b \mid a^n b^k=b^ka^{n+1}, b^la^s=a^sb^{l+1}\rangle$ son no triviales para casi todos (en cualquier sentido:)) $n,k,l,s\in\mathbb N$ ?
Respuesta
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El grupo es siempre trivial. De hecho, $a^{-ns}b^{l^n}a^{ns}=b^{(l+1)^n}$ . Por otro lado, $a^{ns}=b^ka^{(n+1)s}b^{-k}$ . Sustituir $a^{ns}$ de la segunda igualdad a la primera. Obtendrá que $a^{(n+1)s}$ conjugados $b^{l^n}$ a $b^{(l+1)^n}$ . Desde $a^{ns}$ hace lo mismo, se obtiene que $a^s$ se desplaza con $b^{l^n}$ . Por lo tanto, $b^{l^n}=b^{(l+1)^n}$ y $b$ es la torsión, $b^p=1$ . De la misma manera, $a$ es la torsión, $a^q=1$ . Observe también que $p=(l+1)^n-l^n$ es coprima con $l$ y $q$ es coprima con $n$ . Ahora tenemos $b^{-kp}a^{n^p}b^{kp}=a^{(n+1)^p}$ . Por lo tanto, $a^{n^p}=a^{(n+1)^p}$ . Ya sabemos que $a^{n^l}=a^{(n+1)^l}$ . Supongamos que el orden de $a$ es $t$ . Entonces $t$ divide ambos $(n+1)^l-n^l$ y $(n+1)^p-n^p$ y es coprima con $n$ . Entonces $t$ divide $$(n+1)^p-n^p-(n+1)^p+n^l*(n+1)^{p-l}=-n^p+n^l*(n+1)^{p-l}.$$ Desde $t$ y $n$ son coprimas, $t$ divide $(n+1)^{p-l}-n^{p-l}$ . Se procede mediante el algoritmo euclidiano. Dado que $p$ y $l$ son coprimas, obtenemos que $t$ divide $(n+1)-n=1$ Así que $a=1$ . Del mismo modo, $b=1$ y el grupo es trivial.
