Uso de la regla de la cadena para diferenciar funciones compuestas (exponencial de una exponencial)

Question

¿Cómo podría diferenciar las siguientes dos funciones utilizando la regla de la cadena?

1. $t=(e^{2y})^{e^{y^2}+1}$

2. $t=e^{{(y^3-\ln(y)+1)}^5}$ .

Answer 1

$$t(y)=(e^{2y})^{e^{y^2}+1}=e^{(2y)(e^{y^2}+1)}=e^{f(y)}=g(f(y))\\ t'(y)=(g(f(y)))'=f'(y)g'(f(y))$$ ya que hemos definido $g(x)$ como $e^x$ obtenemos $g'(x)=e^x$ Por lo tanto $$\boxed{g'(f(y))=e^{f(y)}=e^{(2y)(e^{y^2}+1)}}$$ ahora, tenemos que diferenciar $f(y)=(2y)(e^{y^2}+1)=g(y)h(y)$ con $g(y)=2y$ y $h(y)=e^{y^2}+1$ . $$f'(y)=g'(y)h(y)+g(y)h'(y)$$ calculando $g'(y)$ es fácil; $\boxed{g'(y)=2}$ .
en cuanto a $h'(y)$ entonces podría seguir buscando en $h(y)=e^{y^2}+1$ como una función compuesta $h(y)=e^{z(y)}+1=w(z(y))$ con $z(y)=y^2$ y $w(x)=e^x+1$ . $$h'(y)=(w(z(y)))'=z'(y)w'(z(y))$$ fácilmente, obtenemos $z'(y)=2y$ y $w'(x)=e^x$ Por lo tanto $w'(z(y))=e^{z(y)}=e^{y^2}$ . $$\boxed{h'(y)=2ye^{y^2}}$$ vamos a poner todo junto: $$\boxed{f'(y)=2(e^{y^2}+1)+2y(2ye^{y^2})}$$ y, finalmente: $$t'(y)=f'(y)g'(f(y))=\left[2(e^{y^2}+1)+2y(2ye^{y^2})\right]e^{(2y)(e^{y^2}+1)}$$ la justificación de la segunda función es la misma.

Answer 2

sugerencia

Para el primero:

$$t=e^{e^{y^2+1}\ln(e^{2y})}$$

$$=e^{2ye^{y^2+1}}=e^{f(y)}$$

la derivada es

$$f'(y)e^{f(y)}$$

con $$f(y)=2ye^{y^2+1}=2g(y)e^{h(y)}$$ y $$f'(y)=2\Bigl(g'(y)+g(y)h'(y)\Bigr)e^{h(y)}$$

Answer 3

$t=e^{(y^3−log(y)+1)^5}$

Aquí $t=e^{f(y)}$ y así $t' = e^{f(y)}\cdot f'(y)$ .

Por encima de $f(y) = (y^3−log(y)+1)^5$ y así $f'(y) = 5(y^3−log(y)+1)^4\cdot(3y^2 -\frac{1}{y})$ .

Answer 4

No sé qué libro estás usando, pero la regla para diferenciar $k^m$ es sólo una combinación de la regla exponencial y la regla de la potencia:

$$ d(k^m) = mk^{m-1}\,dk + \ln(k)\,k^m\,dm $$

Así que, para la primera, sólo hay que poner $k = e^{2y}$ y $m = e^{y^2+1}$ . Esto significa que $dk = 2e^{2y}\,dy$ y $dm = 2y\,e^{y^2 + 1}\,dy$ .

Poner esos en da:

$$ (e^{y^2+1})^{e^{2y} - 1} e^{2y}\frac{dy}{dt} + \ln(e^{2y}) (e^{2y})^{e^{y^2+1}}(2y\,e^{y^2 + 1})\frac{dy}{dt} $$

Puedes utilizar el mismo proceso para el segundo también.