Ampliación de un haz vectorial holomorfo: una petición de referencia

Question

Dejemos que $Y$ sea una variedad compleja, $X\subset Y$ un submanifold compacto, y $E\to X$ un haz vectorial holomorfo. Puede $E$ ser extendido a un haz sobre una vecindad abierta de $X$ en $Y$ ? (Hace cuatro años hice esta pregunta en MO Extensión del haz tangente de un submanifold para el caso $E=T_X$ .)

Después de juguetear con este problema durante un tiempo encontré una condición necesaria, hay una invariante en $H^2(X, \mathcal{N}_{X/Y}^*\otimes End(E))$ que debe ser cero para que la ampliación sea posible. Hasta aquí, todo bien. Ahora pienso en escribirlo y presentarlo en algún sitio (suponiendo que sea un resultado nuevo). Pero, en un artículo decente se supone que hay referencias a resultados conocidos en la misma dirección, ¿no? Y este es el verdadero problema: ¡maldita sea, no tengo ni idea de dónde buscar! Todo está a kilómetros de distancia de las áreas con las que estoy familiarizado (principalmente geometría diferencial), y hasta ahora no he podido encontrar nada remotamente relevante. Así que sería bueno si alguien me ayuda con esto.

Answer 1

Me parece que su resultado se desprende de la Proposición 1.1 del documento

P. A. Griffiths: El problema de la extensión en el análisis complejo. II: Incrustaciones con haz normal positivo , Am. J. Math. 88 , 366-446 (1966). ZBL0147.07502 ,

que puede descargarse libremente aquí . La declaración es la siguiente:

Proposición 1.1 (Griffiths 1966). Si $\alpha$ es un haz vectorial holomorfo $\mathbf{E} \to X$ entonces $$\omega(\alpha_{\mu-1}) \in H^2(X,\,\Omega(\mathrm{Hom}(\mathbf{E}, \, \mathbf{E})(\mu))).$$

Aquí $\omega(\alpha_{\mu-1})$ es el obstáculo para extender $\mathbf{E}$ a la $\mu$ el barrio infinitesimal $X_{\mu}$ de $X$ en $Y$ siempre y cuando ya tenga una prórroga $\alpha_{\mu-1}$ a $X_{\mu-1}$ y $$H^2(X,\,\Omega(\mathrm{Hom}(\mathbf{E}, \, \mathbf{E})(\mu))= H^2(X, \mathrm{End}(\mathbf{E}) \otimes \mathrm{Sym}^{\mu}(N_{X/Y}^*)).$$

Para tener una extensión de $\mathbf{E}$ a una auténtica vecindad analítica de $X$ en $Y$ todas estas clases de obstrucción deben desaparecer. De hecho, si lo he entendido bien, sólo has proporcionado la clase de obstrucción para la extensión de $\mathbf{E}$ a la primera vecindad infinitesimal $X \subset X_1$ de $X$ en $Y$ .