¿Cómo resolver este sistema de ecuaciones diferenciales para determinar el flujo local de un campo vectorial suave?

Question

Quiero calcular el flujo local del siguiente campo vectorial suave en $\mathbb{R}^2$ , $X:\mathbb{R}^2\to T\mathbb{R}^2$ definido por $X=(x^2-x^1)\frac{\partial}{\partial x^1}-(x^1+x^2)\frac{\partial}{\partial x^2}$ .

Para ello, tengo que resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

$$\begin{cases} \frac{d}{dt}\theta^p(t)^1=\theta^p(t)^2-\theta^p(t)^1 \\ \frac{d}{dt}\theta^p(t)^2=-(\theta^p(t)^1+\theta^p(t)^2)\\ \theta^p(0)=p \end{cases}$$

para todos $p\in\mathbb{R}^2$ . (Donde $\theta^p(t)^i$ es el $i$ -función de componente de $\theta^p(t)$ )

Sé que la solución debería ser $\theta^p(t)=(p^1e^{-t}\cos t+p^2e^{-t}\sin t,-p^1e^{-t}\sin t+p^2e^{-t}\cos t)$ definido para todos los $t\in \mathbb{R}$ y para todos $p\in\mathbb{R}^2$ .

¿Alguna pista/sugerencia/estrategia/observación sobre cómo resolver esto?

Answer 1

Una pista. Su sistema se puede escribir como: $$\begin{pmatrix}\dot{\theta_p^1}\\\dot{\theta_p^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1& 1\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\theta_p^1\\\theta_p^2\end{pmatrix},$$ que es una ecuación lineal de primer orden en $\mathbb{R}^2$ y notar que uno tiene: $$\exp\left(t\begin{pmatrix}-1& 1\\-1&-1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}e^{-t}\cos(t)&e^{-t}\sin(t)\\-e^{-t}\sin(t)&e^{-t}\cos(t)\end{pmatrix},$$ de ahí el resultado.

Observación. Debo explicar cómo calculo esta matriz exponencial, la diagonalizo sobre $\mathbb{C}$ , encontrando que sus valores propios son $(-1-i)t$ y $(-1+i)t$ y el cambio de matriz base viene dado por $\begin{pmatrix}i&-i\\1&1\end{pmatrix}$ .

Recordatorio. Dejemos que $A$ sea una matriz cuadrada, entonces se tiene $$\dot{x}=Ax\iff\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{tA}x=0\iff x=x(0)e^{-tA},$$ la cuestión es que la derivada de $t\mapsto e^{tA}$ es $t\mapsto Ae^{tA}$ y que $e^{-tA}e^{tA}=I$ .

Answer 2

El método de la solución de C. Falcon se aplica en un entorno mucho más amplio (todos los sistemas de o.d.e. lineales, de coeficiente constante y homogéneos de $n$ funciones en $n$ variables). Pero si no tienes la maquinaria a mano, aquí tienes un método ingenuo:

Sugerencia Diferenciando, por ejemplo, la primera ecuación del sistema se obtiene $$\ddot\theta{}^1 = -\dot\theta{}^1 + \dot\theta{}^2 = -(-\theta{}^1 + \theta^2) - (\theta^1 + \theta^2) = -2\theta^2 = -2 (\dot\theta{}^1 + \theta^1) ,$$ y reordenando se obtiene el o.d.e. $$\boxed{\ddot\theta{}^1 + 2 \dot\theta{}^1 + 2 \theta^1 = 0}$$ en $\theta^1$ solo. (Para que sea legible, hemos indicado $\theta^i := \theta^p(t)^i$ .) NB esta es una ecuación de segundo orden, por lo que para encontrar una solución única, necesitamos dos condiciones, digamos, sobre $\theta^1(0)$ y $\dot\theta{}^1(0)$ ---¿Puedes encontrarlas?