La topología de las progresiones aritméticas de los primos

Question

La motivación principal de esta pregunta es la siguiente: Me gustaría extraer algunas estadísticas topológicas que capten cómo las progresiones aritméticas de los números primos "encajan" de una manera que se precisará más adelante.

Configurar

Consideremos una familia anidada de complejos simpliciales $K(p)$ indexado por el primo $p \in \mathbb N$ definidos de la siguiente manera:

1. los vértices son todos primos Impares menores o iguales a $p$ y
2. insertar un $d$ -simplex ( $d \geq 2$ ) que abarcan $d+1$ vértices si y sólo si constituyen una progresión aritmética. Por supuesto, también hay que insertar todas las caras, y las caras de las caras, etc., para que se conserve la propiedad definitoria de un complejo simplicial.

Por ejemplo, $K(7)$ tiene los vértices $3,5,7$ y un solo $2$ -simplemente $(3,5,7)$ junto con todas sus caras. $K(11)$ tiene todo esto, además del vértice $11$ y el simplex $(3,7,11)$ . El borde $(3,7)$ ya existe, así que sólo hay que añadir los otros dos. Así, el hecho de que $(3,7)$ se produce en dos progresiones aritméticas delimitadas por $11$ se codifica colocando la arista correspondiente en el límite de dos 2-símbolos.

Pregunta

¿Alguien ha definido y estudiado ya este complejo? Lo que más me interesa es

¿Cómo es la homología de $K(p)$ cambiar con $p$ ?

Si sirve de ayuda, aquí están -- según cálculos caseros -- las estadísticas de los primeros primos (Betti 0 y 1 sobre $\mathbb{Z}_2$ ). Ya he confirmado que la secuencia de Betti-1 no está en la enciclopedia online de Sloane de secuencias de números enteros. Si falta un K[p] intermedio en la lista, eso significa que la homología es la misma que la del primo anterior.

K [3]: 1 0
K [5]: 2 0
K [7]: 1 0
K [13]: 2 0
K [17]: 2 1
K [19]: 1 2
K [23]: 1 4
K [31]: 1 6
K [37]: 2 6
K [43]: 1 7
K [53]: 1 8
K [59]: 1 9
K [61]: 1 10
K [67]: 1 12
K [71]: 1 17
K [73]: 1 20
K [79]: 1 23
K [83]: 1 26
K [89]: 1 31
K [97]: 1 32
K [101]: 1 35
K [103]: 1 41
K [107]: 1 43
K [109]: 1 47
K [113]: 1 53
K [127]: 1 58
K [131]: 1 62
K [137]: 1 67
K [139]: 1 73
K [149]: 1 78

He aquí una pregunta más concreta:

¿Es cierto que el $d$ -grupos de homología de $K(p)$ para $d > 1$ son siempre triviales?

Answer 1

No. De hecho, para $p = 435052917615787$ esto será absolutamente falso, ya que el segundo grupo de homología no desaparecerá.

Obsérvese que un "agujero" bidimensional en su complejo es un 3-simplex todas cuyas caras son 2-simples en $K(p)$ es decir, 4 primos tales que cada 3 de ellos se encuentran en alguna progresión aritmética.

Por supuesto, usted sospecharía que tal cosa es plausible, y con cierto esfuerzo construiría un ejemplo. He aquí por qué este número funciona:

Considere $p = 398936189798617$ . Entonces, si $d = 2124513401010$ se ve que $p+d$ no es un primo, mientras que $p+2d,p+3d,\ldots,p+15d$ son todos primos. Aquí $p+15d = 435052917615787$ es el primo para el que consideramos el complejo.

De hecho, las cifras fueron tomadas de los registros de AP-k en http://primerecords.dk/aprecords.htm#minimal y $p+2d$ es sólo el principio de una AP-23.

Ahora, uno ve inmediatamente que $p, p+6d, p+10d$ forman un simplex, ya que es una subsecuencia de la progresión aritmética de los primos $p, p+2d, p+4d, p+6d, p+10d$ .

De la misma manera, $p, p+6d, p+15d$ forman un simplex, al igual que $p, p+10d, p+15d$ y $p+6d, p+10d, p+15d$ . Estos provienen de secuencias con diferencias $3d$ , $5d$ y $d$ respectivamente.

Sin embargo, $p,p+6d,p+10d,p+15d$ sólo pueden formar un simplex si todos se encuentran en alguna progresión aritmética de primos. Pero entonces su diferencia debe dividir $d$ , contradiciendo el hecho de que $p+d$ no es primo.