Automorfismos y epimorfismos de grupos finitos

Question

Todos los grupos en esta pregunta son finitos, y epimorfismo significa homomorfismo de grupo sobreyectivo.

Supongamos que tengo dos epimorfismos $f,g\colon G\to H$ . Esto implica que $\ker(f)$ y $\ker(g)$ tienen los mismos factores de composición, pero no tienen por qué ser isomorfos. Diré que $f$ y $g$ son compatibles si $g=fh$ para algún automorfismo $h$ de $G$ . Esto implicaría que $\ker(g)\simeq\ker(f)$ Por lo tanto, no siempre es cierto. Pregunto: ¿siempre existe $K$ y un epimorfismo $p\colon K\to G$ tal que $fp$ y $gp$ ¿son compatibles?

Si $G$ es nilpotente podemos reducirlo al caso de que sea un $p$ -grupo, entonces creo que podemos tomar $K$ para ser el ejemplo inicial de un $k$ -grupo generador de exponente $p^n$ y la clase de nilpotencia $c$ para un tamaño suficientemente grande $k$ , $n$ y $c$ . En particular, si $G$ es un abeliano $p$ -grupo que creo que podemos tomar $K=C_{p^n}^k$ para un tamaño suficientemente grande $k$ y $n$ . Pero no estoy seguro de qué hacer cuando $G$ no es nilpotente.

Answer 1

Podrías empezar con $K$ siendo el grupo libre con los elementos de $G$ como su base libre, con $p$ el mapa obvio en $G$ . Entonces el automorfismo requerido $h$ de $K$ para hacer compatibles los dos mapas compuestos es simplemente una permutación de los elementos de base libre de $K$ .

Por supuesto, esto $K$ es infinito, y se busca un grupo finito. Pero para conseguirlo, podríamos sustituir $K$ por $K/N$ para cualquier subgrupo característico $N$ de índice finito en $K$ y con $N \le \ker p$ . Podrías tomar $N$ para ser la intersección de los núcleos de todos los epimorfismos de $K$ a $G$ de las cuales hay un número finito de ellas.