Paseo aleatorio simple y $n$ el tiempo de golpe cero

Question

Estoy leyendo un ejemplo en el libro de Durrett sobre la $n$ la vez que el paseo aleatorio llega a 0.

Consideremos un simple paseo aleatorio, $X_i=1$ o $X_i = -1$ con igual probabilidad. Sea $S_n = X_1 + \dots + X_n$ .

Dejemos que $T_n$ sea el $n$ la vez $S_m$ llega a 0. Durrett afirma que si $\tau = \inf\{n \ge 1: S_n =1\}$ entonces si $\tau_1,\tau_2,\dots$ son independientes con la misma distribución que $\tau$ entonces $\tau_1 + \dots+\tau_n$ tiene la misma distribución que $T_n$ .

La prueba no se proporciona, sino que se relega en la siguiente sección. Dice que los resultados en la siguiente sección implica el resultado anterior, pero me parece que no puede encontrar allí ...

¿Puede alguien indicarme alguna referencia en línea sobre lo anterior? Muchas gracias.

Answer 1

¿Estás seguro de que dice $ \tau= \text{inf}\{n\geq 1: S_{n} =1\}$ ? Si fuera $\tau=\text{inf}\{n>1: S_{n} =0\}$ esto tendría más sentido, es decir, ¿el enésimo tiempo de golpe distribuido es el mismo que los n "primeros tiempos de golpe"? Podría ser un error tipográfico.

De hecho, es seguramente falso. Considere $P(T_{1}=1)=0$ pero $P(\tau_{1}=1)=.5$