Es $\sum\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ ¿convergente o divergente?

Question

$$\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} \text{and} \sum\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

La primera es una serie alterna, así que sólo sería: $$\sum (-1)^n\frac{1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow \;^\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow \frac{\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}}\Rightarrow \frac{0}{1}=0 = \text{convergent}$$

Pero para la segunda estoy un poco confundido: $$^\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow \frac{\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n}}\Rightarrow \frac{0}{1}=0 = \text{convergent}$$ o $$\sum\frac{1}{\sqrt{n+1}} \lt \frac{1}{\sqrt{n}}\Rightarrow\frac{1}{n^{1/2}} = \text{p-series}\frac12\lt1 = \text{divergent}$$

¿La segunda serie es convergente o divergente, y con qué pruebas?

Nota: en mi último ejemplo estoy comparando la serie con una serie mayor/divergente

Answer 1

Usted está haciendo un grand error. El hecho de que $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n = 0 $$ hace no implican que $\sum a_n$ es convergente. En cambio, si el límite es distinto de cero, podemos concluir que la suma es divergente.

La primera serie es una serie alterna y converge por la prueba de la serie alterna de Leibniz. Para la segunda serie, compare $$\frac{1}{\sqrt{n+1}}\geq \frac 1n $$ cuando $n\geq 2$ y $\sum\frac1n$ es el ejemplo clásico de una serie divergente, por lo que también lo es la segunda serie.

AÑADIDO: Ya que estás confundido con la prueba p. $$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{1/2}}$$ por lo que la serie diverge por la prueba p.

Answer 2

¡El primero está bien! pero para $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ Hay que compararlo con series más pequeñas pero divergentes para mostrar la divergencia

para $n\gt2$ tienen $$\frac{1}{n}\lt\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ y $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\le\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ La primera serie en el lado izquierdo es la serie armónica que es obviamente divergente.

Answer 3

Una pista: En la segunda serie

$\frac{1}{\sqrt{n+1}}\ge\frac{1}{n+1}$

Primero converge por la prueba de series alternas : https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test

y utiliza justo lo que has mostrado.

IMPORTANTE : Parece que usted piensa que $\sum a_n$ converge $\iff$ $\lim_{n\to\infty}a_n= 0$ .

No es cierto que $\lim_{n\to\infty}a_n= 0\Rightarrow\sum a_n$ converge. Consideremos $\sum\frac{1}{n}$

Answer 4

Su confusión es que el segundo secuencia converge a 0:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} = 0 $$

Para que la serie converja, el secuencia debe converger a $0$ (por lo que eventualmente está añadiendo $0$ ), pero no es suficiente (por ejemplo, la serie p). Usted comparó correctamente su serie con una serie divergente que era menor que su serie, por lo que se trata de una aplicación correcta de la prueba de comparación.

Editar:

Jessica, sí, tienes razón, es fue una serie mayor (lo que significa que la comparación es no correcto). Aunque en este caso es algo bastante trivial, puedes simplemente usar un cambio de índices:

$$ \sum_{n = 1}^N \frac{1}{\sqrt{n + 1}} = \sum_{n = 2}^{N - 1}\frac{1}{\sqrt{n}} $$

Creo que cuanto más interesante sería demostrarlo:

$$ \sum \frac{1}{(x^d + ...)^r} $$

es convergente cuando $dr > 1$ (y $d$ es el mayor exponente -más positivo- del polinomio) y divergente en caso contrario (en tu caso tendrías $1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \leq 1$ y, por tanto, divergente).

La clave aquí es comparar con:

$$ \sum \frac{1}{(x^d)^r} = \sum \frac{1}{x^{dr}} $$

Para simplificar mi argumento, vamos a suponer que $d, r > 0$ Esto significa que tenemos:

$$ \frac{1}{(x^d + ...)^r} = \frac{1}{\left(x^d\left(1 + \frac{...}{x^d}\right)\right)^r} = \frac{1}{x^{dr}\left(1 + \frac{...}{x^d}\right)^r} $$

La razón por la que es importante asumir $d > 0$ (y es el mayor exponente positivo) es que $\frac{...}{x^d}$ tiende a cero. Esto significa que existe algún valor, $l$ para $x = x_{max}$ tal que $l > \frac{...}{\left(x_{max}\right)^d}$ , lo que significa que en algún punto podemos decir que:

$$ \frac{1}{x_{max}^{dr}}\frac{1}{\left(1 + \frac{...}{\left(x_{max}\right)^d}\right)^r} > \frac{1}{\left(x_{max}\right)^{dr}}\frac{1}{\left(1 + l\right)^r} $$

Desde $\frac{1}{(1 + l)^r}$ es alguna constante, esto equivale a demostrar el caso de la serie p.

Para su caso particular, esto sería:

$$ \frac{1}{(n + 1)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}} $$

Podemos elegir $x_{max} = 2$ y $l = 1$ . Así, dando:

$$ \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^\frac{1}{2}} \stackrel{?}{>} \frac{1}{(1 + 1)^\frac{1}{2}} \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \stackrel{?}{>} \frac{1}{\sqrt{2n}} $$

Esta desigualdad es cierta porque $1 > \frac{1}{n}$ para todos $n > 1$ y por lo tanto está dividiendo por un más grande número en el lado derecho, haciendo que el lado derecho más pequeño . Dado que el lado derecho, que es más pequeño diverge, también lo hace el más grande a la izquierda.