Vamos a tomar un breve secuencia exacta de los grupos $$1\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 1$$ Entiendo lo que dice: la imagen de cada homomorphism es el kernel de la siguiente, de modo que el uno entre el $A$ $B$ es inyectiva y entre $B$ $C$ es surjective. Voy a conseguir. Pero aparte de ser una especie de curiosidad, ¿qué es lo que realmente me decía?
Respuestas
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Como Jessica dijo en una respuesta anterior, la puesta en marcha inicialmente nos dice que, en cierto sentido,$C = B/A$. Para ver esto, ya que $A \to B$ es inyectiva, y ha de imagen, precisamente, el núcleo de algunos de mapa, se puede identificar a $A \unlhd B$ como un subgrupo normal. Y este es precisamente el núcleo de un surjective mapa de $B \to C$ por el primer teorema de isomorfismo, $C = B/A$.
Sin embargo, la situación rápidamente se vuelve más interesante que este. Por ejemplo, es evidente que esta situación surge cuando tenemos un producto directo de grupos de $B = A \times C$. Motivados por la simplicidad de este caso, podemos decir que la secuencia se divide si $B \cong A \times C$. Para un no-grupo abelian, esto ocurre si y sólo si se puede encontrar un mapa de $B \to A$ (creo proyección) de tal manera que la composición de la $A \to B \to A$ es la identidad automomorphism en $A$. Para un grupo abelian, podemos decir que incluso más que la secuencia también se divide si podemos encontrar un mapa de $C \to B$ tal que $C \to B \to C$ es la identidad. Esto sucede más en general, en abelian categorys como los módulos sobre un anillo. Esta página de la Wikipedia tiene más info...
En general también la atención sobre estas cuestiones, porque en el álgebra y temas relacionados a menudo nos encontramos frente a la larga exacta secuencias de formas
$$... \to A_{-1} \to A_0 \to A_1 \to A_2 \to... $$
Donde sabemos que algunos de los elementos de la secuencia y algunos de los mapas y quisiera identificar lo que hacen los otros. En general, cualquier secuencia puede ser desglosado en una serie de cortos exacta de las secuencias, y en el mejor de los casos podemos dividir estas secuencias a bien describir un desconocido plazo en términos del kernel y la imagen de los alrededores de los mapas. El primer ejemplo que la mayoría ve en mi experiencia es la de Mayer Vietoris secuencia que se plantea en topología algebraica como una manera de calcular algebraicas invariantes de un espacio en términos de los de más simple subespacios.
Jessica B
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Este conjunto le dirá que, esencialmente, $C=B/A$. Piensa en el primer teorema de isomorfismo.
En algunos casos, se puede conseguir que la $B=A\oplus C$ (ver Wikipedia: la División de lema).
Hagen von Eitzen
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Es más interesante en cuanto a los diagramas de involucrarse más. Por ejemplo: Si el siguiente diagrama exacto de filas desplazamientos, y las columnas exteriores son tanto mono/epi/iso-morfismos, luego el del medio es también un mono/epi/iso-morfismos: $$ \begin{matrix} 0\to &A&\to &B&\to &C&\to 0\\ &\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&\\ 0\to &A'&\to& B'&\to &C'&\to 0\\ \end{de la matriz}$$ La traducción de esta declaración plenamente en kernel/imagen lingo, haría mucho menos se pueden agarrar.
Hurkyl
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"El núcleo de $B \to C$" a menudo no es satisfactoria en la descripción de un grupo. Tener un grupo de $A$ que es isomorfo a (junto con un isomorfismo) es muy útil.
"El cociente $B/A$" a menudo no es satisfactoria en la descripción de un gruop. Tener un grupo de $C$ que es isomorfo a (junto con un isomorfismo) es muy útil.
