Pregunta sobre Power Series

Question

Tengo este problema:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\ 64^n\ (x-10)^{3n+1}$$

Después de utilizar la Prueba de la Relación me queda esto:

$$ \lim_{n\to\infty}\big|\frac{64^{n+1}(x-10)^{3n+4}}{64^n(x-10)^{3n+1}}\big| $$

Cuando simplifico el problema... obtengo esto

$$ \lim_{n\to\infty}\big|64(x-10)^3\big| $$

No hay " $n$ " en el problema de la izquierda... ¿cuál sería el intervalo de convergencia? Siento que puedo haber cometido un error en alguna parte o me he perdido algo en clase. Cualquier ayuda sería genial, ¡gracias!

Answer 1

No, tienes toda la razón. Lo que significa es que $$\lim_{n\rightarrow \infty} |64(x-10)^3| = |64(x-10)^3|$$

Así que puedes encontrar el intervalo de convergencia de la forma en que lo haces normalmente: encontrando esos $x$ tal que $|64(x-10)^3| < 1$ .

Answer 2

Ya que has resuelto el problema, sólo añado para tu curiosidad que el sumatorio tiene una forma cerrada muy sorprendente $$\sum_{n=0}^{\infty}\ 64^n\ (x-10)^{3n+1}=\frac{x-10}{(41-4 x) \left(16 x^2-316 x+1561\right)}$$