Sugerencia Usted ha señalado que el Teorema de Rango-Nulidad (lo que usted llama el Teorema de la Dimensión) da $\dim \ker f + \dim \operatorname{im} f = 3$ . Ambas cantidades son enteros no negativos, por lo que $(\dim \ker f, \dim \operatorname{im} f)$ debe ser uno de $(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)$ . ¿Cuál de estas posibilidades satisface también su otra condición?
Para construir un ejemplo en el $\dim \ker f = 1$ es conveniente suponer que existe una transformación que satisface las condiciones dadas, trabajar en una base adaptada a nuestras condiciones y construir una representación matricial de la transformación en esa base. Podemos elegir:
- un vector (no nulo) ${\bf e}_1$ tal que $\ker f = \langle {\bf e}_1 \rangle$ ,
- un vector ${\bf e}_2 \in \operatorname{im} f$ tal que $\operatorname{im} f = \langle {\bf e}_1, {\bf e}_2 \rangle$ y
- cualquier vector ${\bf e}_3 \not\in \operatorname{im} f$ ,
para que $({\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3)$ es una base de $\Bbb R^3$ .
Ahora bien, como $f({\bf e}_1) = {\bf 0}$ la representación matricial de $f$ con respecto a nuestra base debe tener la forma $$[f] = \pmatrix{0&\ast&\ast\\0&\ast&\ast\\0&\ast&\ast\\} .$$ ¿Qué condiciones en $[f]$ hace el otro requisito, $\operatorname{im} f = \langle {\bf e}_1, {\bf e}_2 \rangle$ ¿Imponer?
Alternativamente, si se dispone de la Forma Normal de Jordan, los hechos que $\dim \ker f = 1$ y $\ker f \subset \operatorname{im} f$ implican que hay algún $\bf v$ tal que $f({\bf v}) \in \ker f - \{0\}$ . Entonces, ${\bf v}$ es un vector propio generalizado de $f$ del valor propio $0$ (como $f(f({\bf v})) = 0$ ) pero no un vector propio, por lo que la forma normal de Jordan de $f$ tiene un bloque de Jordan de valor propio $0$ de tamaño superior a $1$ lo que lleva rápidamente a la construcción de matrices explícitas que satisfacen las condiciones dadas (de hecho, todas las matrices hasta la similitud).
