Cómo demostrar que $D_2$ conformemente equivalente a $D_1$ simplemente conectado es simplemente conectado

Question

Si no pudiéramos utilizar las propiedades topológicas de la conectividad simple y los mapas conformes, ¿cómo podríamos demostrar lo siguiente?

Dejemos que $D_1$ sea un subconjunto simplemente conexo de $\Bbb C$ , $D_2$ otro subconjunto de $\Bbb C$ tal que existe un mapa conforme $f:D_1\to D_2$ . Entonces $D_2$ está simplemente conectado.

Tengo una idea. Podemos considerar $F_1$ la integral de $f$ en $D_1$ y $F_2$ la integral de $f$ en $D_2$ . Entonces, por la unicidad de las integrales, sabemos que existe $c\in\Bbb C$ tal que $F_2(z) = F_1(z) + c$ para todos $z\in D_1\cap D_2$ . Podemos definir \begin{equation*} G(z) = \begin{cases} F_1(z)+c & \quad \text{, if $z\in D_1$}\\ F_2(z) & \quad\text{, if $z\in D_2$} \end{cases} \end{equation*}

Debería demostrar que $G(z) = 0$ para todos $z$ sabiendo que $F_1(z) = 0$ para todos $z$ . ¿Es suficiente ver que $c = 0$ ¿y lo tendríamos? Si es así, ¿cómo podemos probarlo?

Gracias de antemano.

Consideramos que $f$ un mapa conforme si es holomorfo, inyectivo en $D_1$ y $f(D_1) = D_2$ . Y decimos que $D$ es simplemente conectado si todo el ciclo $\Gamma\sim 0 \;mod\; D$ .

Un resultado que utilicé aquí fue que si consideramos $D$ un dominio si $\Bbb C$ , $D$ es simplemente conectado si para todo $f$ holomorfo en $D$ y todo el ciclo $\Gamma$ en $D$ , $\int_{\Gamma}f(z)dz = 0$ .

Answer 1

Una prueba utilizando la caracterización

Un dominio $D \subset \Bbb C$ es simplemente conectado si y sólo si $\int_\Gamma f(z) \, dz = 0$ para todos los ciclos $\Gamma$ en $D$ y para todas las funciones $f$ que son holomorfas en $D$ .

funciona de la siguiente manera:

Supongamos que $D_1$ y $D_2$ son dominios en $\Bbb C$ tal que $D_1$ es simplemente conectado, y existe un mapa conforme $\phi$ de $D_1$ en $D_2$ . Obsérvese que la función inversa $\phi^{-1}$ es un mapeo conforme de $D_2$ en $D_1$ .

Ahora dejemos que $f$ sea holomorfo en $D_2$ y $\Gamma$ sea un ciclo en $D_2$ . Entonces $\gamma = \phi^{-1} \circ \Gamma$ es un ciclo en $D_1$ y $$ \tag{*} \int_\Gamma f(w) \, dw = \int_\gamma f(\phi(z)) \phi'(z) \, dz = 0 $$ porque $f(\phi(z)) \phi'(z)$ es holomorfo en $D_1$ y $D_1$ se supone que está simplemente conectada.

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Observación: Si no está convencido de la identidad $(*)$ entonces elige una parametrización $\gamma:[0, 1] \to D_1$ de $\gamma$ y observe que ambos lados son iguales a $$ \int_0^1 f(\phi(\gamma(t))) \phi'(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt \, . $$

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Con respecto a su enfoque: No creo que funcione. Tienes que empezar con una función holomórfica $f$ y un ciclo $\Gamma$ en $D_2$ y entonces no se puede hablar de la "integral de $f$ en $D_1$ ." También $ D_1\cap D_2$ puede estar vacío.