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Integrar $\int t^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{c^2}{4t}} \, \mathrm{d}t$

Estoy tratando de resolver la siguiente integral a mano, donde $c$ es una constante:

$$\int t^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{c^2}{4t}} \, \mathrm{d}t$$

He encontrado una solución utilizando Mathematica, pero me interesaba saber cómo se podría resolver manualmente.

Al principio intenté la sustitución $t=v^2$ , que casi produce la función Error, pero no estaba seguro de cómo seguir adelante.

Según Mathematica, la solución correcta es

$$2e^{\frac{-c^2}{4t}}\sqrt{t}+c\sqrt{\pi} \,\mathrm{erf}\!\left(\frac{c}{2\sqrt{t}} \right) $$ (más una constante arbitraria).

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Susheel Javadi Puntos 1084

Utilizando la sustitución sugerida por Robert Israel se obtiene rápidamente una solución:

Dejemos que $t=\cfrac{c^2}{4v^2}$ .

Así, $\mathrm{d}t = -\cfrac{c^2}{2v^3}$ y $v=\cfrac{c}{2\sqrt{t}}$ .

Así que, \begin{align} \int t^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{c^2}{4t}} \, \mathrm{d}t &= \int \left(\frac{c^2}{4}v^{-2}\right)^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{c^2}{4}\left(\frac{c^2}{4}v^{-2}\right)^{-1}} \cdot \left(-\frac{c^2}{2}v^{-3}\right)\, \mathrm{d}v \\ &= -\int \left(\frac{2}{c}v\right) e^{-v^2} \cdot \left(\frac{c^2}{2}v^{-3}\right)\, \mathrm{d}v \\ &= -c \int v^{-2} e^{-v^2} \, \mathrm{d}v \\ \textrm{Now, integrate by parts:} \\ &= -c\left(-v^{-1}e^{-v^2} -\int -v^{-1} \left(-2ve^{-v^2} \right) \, \mathrm{d}v \right) + k \\ &= -c \left(-v^{-1}e^{-v^2} -2 \int e^{-v^2} \mathrm{d}v\right) + k\\ \textrm{Substitute } v=\cfrac{c}{2\sqrt{t}} \mathrm{:}\\ &= 2 \sqrt{t} e^{-\frac{c^2}{4t}} + c \sqrt{\pi} \; \mathrm{erf}\!\left(\frac{c}{2\sqrt{t}} \right) + k \end{align}

Así encontramos la solución deseada.

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