Gráfico conexo incontable cuyo complemento también es conexo

Question

¿Existe un grafo simple no dirigido conectado $G=(V, E)$ tal que $|V| > \aleph_0$ y el complemento de $G$ ¿también está conectado?

Answer 1

Claro. Aquí hay una construcción que funciona para cualquier conjunto de vértices $V$ con al menos $4$ puntos. Dividir $V$ en dos conjuntos $A$ y $B$ que tienen al menos dos elementos, y que $G$ sea el grafo bipartito completo con respecto a la partición $V=A\cup B$ con un borde eliminado. Como se ha eliminado una arista, el complemento de $G$ está conectado; ya que ambos $A$ y $B$ tienen al menos dos puntos, es fácil demostrar que $G$ está conectado.

Answer 2

Claro. Dejemos que $V$ sea un ordinal suficientemente grande. Para $x\in V$ añadir un borde a $x+1$ y también se añaden aristas entre dos ordinales cualesquiera que no sean sucesores en $V$ .