¿Cuál es la motivación de un álgebra de vértices?

Question

La definición matemática de un álgebra de vértices puede encontrarse aquí:

http://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_operator_algebra

Históricamente, este objeto surgió como una axiomatización de los "operadores de vértice" en la "teoría del campo conforme" de la física; no sé qué significan estas frases.

Hasta la fecha, no he sido capaz de reunir ningún tipo de intuición para un álgebra de vértices, o incluso una justificación precisa de por qué alguien debería preocuparse por ellos a priori (es decir, no "vienen de la física" ni "se puede probar la luz de la luna con ellos").

Hasta donde yo sé, la física teórica consiste en encontrar modelos matemáticos que expliquen los fenómenos físicos observados. Por lo tanto, mis preguntas son:

¿Cuál es el fenómeno/problema/cuestión física básica que modelan los operadores de vértice?

¿Cuál es la historia posterior sobre los operadores de vértice y la teoría de campo conforme, y cómo podemos ver que esto conduce naturalmente a los axiomas de un álgebra de vértice?

¿Hay ejemplos físicos accesibles ("considere dos partículas que colisionan en un vacío infinito...", etc.) que ilustren las ideas clave?

Además, ¿existen interpretaciones alternativas, puramente matemáticas, de las álgebras de vértice que hagan más fácil pensar en ellas de forma intuitiva?

¿Quizás las personas que han desempeñado un papel en su descubrimiento podrían decir algo sobre el proceso de pensamiento que les llevó a definir estos objetos?

Answer 1

Las respuestas aquí se han centrado en los aspectos matemáticos de los VOAs y en la motivación proveniente de la QFT, la especialización a la Teoría de Campos Conformes, y luego la posterior especialización a la CFT holomórfica bidimensional. Las CFT bidimensionales surgieron a partir de la teoría de cuerdas, en la que los campos de la hoja del mundo 2d de la cuerda definen una CFT. Sin embargo, hay otra parte importante de la historia que no se ha mencionado y que está más directamente ligada al fenómeno físico, y es la teoría del fenómeno crítico. Muchos sistemas, como el agua-hielo, los sistemas magnéticos, etc., experimentan transiciones de fase al variar un parámetro termodinámico como la temperatura. Normalmente se trata de transiciones de primer orden, lo que significa que hay un calor latente asociado a la transición. A veces se puede variar un parámetro adicional y encontrar una línea de transiciones de primer orden que termina en una transición de segundo orden. La transición de segundo orden se caracteriza por las fluctuaciones en todas las escalas: la teoría se convierte en invariante de escala y conformacional en ese punto. También resulta que el comportamiento de las magnitudes termodinámicas a medida que uno se acerca al punto crítico se caracteriza por unos números llamados exponentes críticos que son universales para sistemas con la misma estructura de simetría. Estos exponentes están relacionados con lo que se llama las dimensiones conformes de los operadores en CFT y son directamente medibles en el laboratorio para una variedad de sistemas. Una herramienta importante que se utilizó en el estudio del fenómeno crítico es la expansión del producto de operadores o álgebra de operadores de K. Wilson y L. Kadanoff. Hay una enorme literatura sobre esto. Aquí hay una referencia a un primer artículo sobre el álgebra de operadores para el modelo de Ising: http://prb.aps.org/abstract/PRB/v3/i11/p3918_1 . Los VOA son una formalización matemática rigurosa de este tipo de estructura algebraica. Para alguien que quiera aprender sobre CFT partiendo de un sistema físico concreto (o al menos de una idealización matemática de un sistema físico) el Modelo de Ising es un buen punto de partida.

Answer 2

Puedo afirmar que Richard Borcherds discutió conmigo sobre las álgebras de vértice, antes de que nadie supiera lo que eran (y no es que yo pudiera ser de ayuda). En aquella época eran objetos puramente algebraicos, con una especie de "identidad de Jacobi". En algún momento dijo que tenía una definición como álgebra de Lie en sentido interno en una categoría - esta idea fue desechada por no ser útil. Mucho más tarde dijo algo acerca de una relación con los axiomas de Wightman, pero deduzco que eso no es realmente sólido a la hora de la verdad. Así que dudo que la aparición de una teoría axiomática pueda ser "reconstruida racionalmente" sin hacer algún daño a la historia.

Answer 3

Hablando como teórico de cuerdas, diría que el libro de Victor Kac "Vertex Algebras for Beginners" sigue bastante de cerca lo que los físicos pensaban originalmente. Así que tal vez quieras echarle un vistazo.

Answer 4

Voy a tomar un punto de vista más físico. Aunque no tenemos ninguna definición matemática concreta de QFT en general, podemos definir la teoría de campos conformes 2d (esto se atribuye a las simetrías infinitas y a la solvencia exacta), además de las CFTs también podemos definir las QFTs topológicas (Atiyah).Greame Segal propuso una definición geométrica de CFT. En la teoría de campos conformes tratamos con operadores de vértice análogos a los operadores de la QFT, podemos escribir una expansión tipo Taylor de dos operadores de vértice, es decir, expansiones de productos de operadores (OPE) que dan el análogo de la QFT de dos campos que interactúan. Todas estas nociones son capturadas por la axiomatización basada en las álgebras de vértice. Para ver una mejor imagen, véase el artículo clásico de Belavin, Polyakov y Zamolodchikov, donde se propuso un enfoque algebraico de la CFT.

Recientemente Kapustin y Orlov propusieron una definición más general de las álgebras de vértice y mostraron la relación entre su definición algebraica y la geométrica de Segal.

Answer 5

Esto puede retenerte hasta que aparezca una respuesta REAL. Encontré algo parecido a la intuición sobre este tema cuando estudié por primera vez la teoría cuántica de campos. Te recomiendo que busques allí antes de intentar abordar la bestia de muchas cabezas que es la teoría de campos conformes. Muchos (pero no todos) de los axiomas de la VOA pueden verse en las propiedades de una QFT. En cuanto a un lugar "amigable para los matemáticos" para aprender sobre QFT, recuerdo que me gustó el libro de Ryder.