Isomorfismo de álgebras $\mathbb{Q}(\cdot , +, 1)$ y $\mathbb{Z}(\cdot , +, 1)$

Question

Tengo estas dos álgebras y necesito saber si son isomorfas: $\mathbb{Q}(\cdot , +, 1)$ y $\mathbb{Z}(\cdot , +, 1)$

¿Existen algunos trucos generales para afrontar este tipo de tareas?

Answer 1

Incluso si nos olvidamos de la adición y sólo consideramos los monoides $(\mathbb{Z},\cdot,1)$ , $(\mathbb{Q},\cdot,1)$ no puede haber un isomorfismo entre ellos. Para ver esto, observe que en $\mathbb{Z}$ sólo hay dos elementos invertibles, mientras que hay infinitos en $\mathbb{Q}$ .

También puedes olvidar la multiplicación y la unidad y mostrar, que $(\mathbb{Z},+)$ y $(\mathbb{Q},+)$ no son isomorfos como grupos ( $\mathbb{Z}$ es cíclico, $\mathbb{Q}$ no es / $\mathbb{Q}$ es divisible, $\mathbb{Z}$ no lo es).

Esta es la forma habitual de demostrar que algunas estructuras algebraicas no son isomorfas: basta con encontrar una propiedad algebraica que sea satisfecha exactamente por una de ellas y utilizar el hecho de que las propiedades algebraicas (como el número de elementos invertibles o que sean cíclicas/divisibles/etc.) son preservadas por los isomorfismos.