Cuántos puntos $\xi\in\mathbb Z^n$ son satisfactorios $p\leq|\xi|< p+1$ ?

Question

Dejemos que $p\in\mathbb N$ . ¿Cuántos puntos $\xi\in\mathbb Z^n$ son satisfactorios $p\leq|\xi|< p+1$ ? Aquí $|\xi|$ indica la norma euclidiana habitual.

Estoy tratando de decidir la convergencia en Cómo mostrar la serie $\displaystyle\sum_{\xi\in\mathbb Z^n}\frac{1}{(1+|\xi|^2)^{s/2}}$ converge si y sólo si $s>n$ ?

Answer 1

Denota por $X_{n,p}$ el número de los puntos enteros $\xi\in\mathbb{Z}^n$ satisfaciendo $p\le|\xi|<p+1$ . Aquí hay un límite superior muy aproximado para $X_{n,p}$ .

Por cada $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in\mathbb{Z}^n$ denotar por $E_\xi$ el cubo de la unidad traducido a $\xi$ : $$ E_\xi := \xi + [0,1)^n = [\xi_1,\xi_1+1)\times\cdots\times[\xi_n,\xi_n+1). $$ Si $\xi,\eta\in\mathbb{Z}^n$ y $\xi\ne\eta$ entonces $E_\xi$ y $E_\eta$ son disjuntos. Si $A$ es un subconjunto finito de $\mathbb{Z}^n$ entonces el número de elementos de $A$ es igual al $n$ -volumen de la unión $\bigcup_{\xi\in A}E_\xi$ .

El diámetro de $E_\xi$ es igual a $\sqrt{n}$ . Si $p>\sqrt{n}$ y $p\le|\xi|<p+1$ entonces $E_\xi$ está contenida en la cáscara esférica $B(p+1+\sqrt{n})\setminus B(p-\sqrt{n})$ . Por lo tanto, $X_{n,p}$ es menor o igual que el $n$ -volumen de esta cáscara: $$ X_{n,p} \le\omega_n((p+1+\sqrt{n})^n-(p-\sqrt{n})^n). $$ De hecho, la desigualdad es estricta, pero no es importante. Aplique la fórmula $a^n-b^n=(a-b)\sum_{j=0}^{n-1}a^j b^{n-1-j}$ : $$ X_{n,p}\le\omega_n (1+2\sqrt{n}) \sum_{j=0}^{n-1}(p+1+\sqrt{n})^j(p-\sqrt{n})^{n-1-j}. $$ Estimación $p-\sqrt{n}$ por $p+1+\sqrt{n}$ : $$ X_{n,p}\le n\omega_n (1+2\sqrt{n}) (p+1+\sqrt{n})^{n-1}. $$ Esto es suficiente para concluir que la serie original converge para cada $s>n$ .