Prueba $1+2+3+4+\cdots+n = \frac{n\times(n+1)}2$

Question

Al parecer, $1+2+3+4+\ldots+n = \dfrac{n\times(n+1)}2$ .

¿Cómo? ¿Cuál es la prueba? ¿O tal vez sea evidente sólo con mirar lo anterior?

PD: Este problema se conoce como "La suma de los primeros $n$ enteros positivos".

Answer 1

Dejemos que $$S = 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n.$$ Escríbelo al revés: $$S = n + (n-1) + \ldots + 2 + 1.$$ Suma las dos ecuaciones, término por término; cada término es $n+1,$ así que $$2S = (n+1) + (n+1) + \ldots + (n+1) = n(n+1).$$ Dividir por 2: $$S = \frac{n(n+1)}{2}.$$

Answer 2

Mi prueba favorita es la que se da aquí en MathOverflow . Estoy copiando la imagen aquí para facilitar la referencia, pero el crédito completo va a Mariano Suárez-Alvarez por esta respuesta.

Hay que mirar un poco para ver lo que pasa, pero es bonito una vez que lo consigues. Observa que si hay n filas de discos amarillos, entonces:

1. hay un total de 1 + 2 + ... + n discos amarillos. + n discos amarillos;
2. cada disco amarillo corresponde a un único par de discos azules, y viceversa;
3. hay ${n+1 \choose 2} = \frac 12 n(n+1)$ tales pares.

Answer 3

¡Qué gran suma! Esta es una de esas preguntas que tienen decenas de pruebas por su utilidad y uso instructivo. Presento mis dos pruebas favoritas: una por su sencillez, y otra porque se me ocurrió por mi cuenta (es decir, antes de ver cómo lo hacían otros -se sabe-).

La primera tiene que ver con la imagen anterior:

En definitiva, observa que queremos saber cuántas casillas hay en la región delimitada, ya que la primera columna tiene 1 casilla, la segunda 2, y así sucesivamente (1 + 2 + ... + n). Una forma de contar esto rápidamente es tomar otra copia de esta sección y adjuntarla debajo, haciendo un $n*(n+1)$ que tiene exactamente el doble de casillas de las que realmente queremos. Pero hay $n*(n+1)$ pequeños cuadrados en esta zona, así que nuestra suma es la mitad: $$ 1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}. $$

Segunda prueba, igual que la primera pero un poco más dura y un poco peor:

Demos por sentado que la suma geométrica finita $1 + x + x^2 + ... + x^n = \dfrac{x^{n+1} - 1}{x-1}$ (Si no estás familiarizado con esto, comenta y te dirigiré a una prueba). Esto es un polinomio - así que vamos a diferenciarlo. Obtenemos $$ 1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^{n-1} = \dfrac{ (n+1)x^n (x-1) - x^{n+1} + 1}{ (x-1)^2 }$$ Tomando el límite a medida que x se acerca a 1, obtenemos

$$ \lim_{x \to 1} \dfrac{ (n+1)x^n (x-1) - x^{n+1} + 1}{ (x-1)^2} = \dfrac{ (n+1) [ (n+1)x^n - nx^{n-1} ] - (n+1)x^n }{2(x-1)} = $$ $$ \lim_{x \to 1} \dfrac{ (n+1)[(n+1)(n)x^{n-1} - n(n-1)x^{n-2}] - (n+1)(n)x^{n-1} } {2}$$

donde utilizamos dos aplicaciones de l'Hopital anteriormente. Este límite existe, y al introducir x = 1 vemos que obtenemos $$ \dfrac{1}{2} * (n+1)(n) [ (n+1) - (n-1) - 1] = \dfrac{ (n)(n+1)}{2}.$$

Y así concluye la segunda prueba.

Answer 4

¿Cuántas maneras hay de elegir un $2$ -de un subconjunto de elementos $n$ -¿conjunto de elementos?

Por un lado, se puede elegir el primer elemento del conjunto en $n$ formas, entonces el segundo elemento del conjunto en $n-1$ formas, y luego dividir por $2$ porque no importa cuál elijas primero y cuál después. Esto da $\frac{n(n-1)}{2}$ formas.

Por otro lado, supongamos que el $n$ los elementos son $1, 2, 3, ... n$ y supongamos que el mayor de los dos elementos elegidos es $j$ . Entonces, para cada $j$ entre $2$ y $n$ hay $j-1$ posibles elecciones del menor de los dos elementos, que puede ser cualquiera de $1, 2, ... j-1$ . Esto da $1 + 2 + ... + (n-1)$ formas.

Como las dos expresiones anteriores cuentan lo mismo, deben ser iguales. Esto se conoce como el principio de la doble cuenta, y es una de las armas favoritas de los combinadores. Una generalización de este argumento permite deducir la suma de la primera $n$ cuadrados, cubos, cuartas potencias...

Answer 5

Por ejemplo, $$X = 1+2+3+4+5+6$$ Entonces, dos veces $X$ es $$2X = (1+2+3+4+5+6) + (1+2+3+4+5+6)$$ que podemos reordenar como $$2X = (1+2+3+4+5+6) + (6+5+4+3+2+1)$$ y sumar término a término para obtener $$2X = (1+6)+(2+5)+(3+4)+(4+3)+(5+2)+(6+1)$$ para conseguir $$2X = 7+7+7+7+7+7 = 6*7 = 42$$