Homología singular cúbica vs. simplicial

Question

La homología singular suele definirse mediante símiles singulares, pero Serre en su tesis utiliza cubos singulares, que según él se adaptan mejor al estudio de los espacios de fibras. Este joven (25 años por aquel entonces) parecía saber de lo que hablaba y desde entonces ha tenido una carrera no demasiado infructuosa.

Así que mis preguntas (bastante relacionadas) son

1) ¿Por qué tan pocos libros utilizan este enfoque (sólo conozco el de Massey)?

2) ¿Cuáles son los pros y los contras de ambos enfoques?

3) ¿Importa? Al fin y al cabo los grupos homológicos obtenidos son los mismos.

Answer 1

Una desventaja de utilizar la homología cúbica singular viene dada por el siguiente ejemplo (copiado de los deberes de Natalia Hajlasz):

Ejemplo. El círculo $c(t)=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$ , $t\in [0,1]$ no es el límite de ninguna cadena cúbica singular.

Prueba. Para una cadena singular $\sum_i a_i c_i$ donde $a_i\in\mathbb{Z}$ et $c_i$ es un cubo singular, defina su `longitud' por $\sum_i a_i$ . Dado que las caras opuestas de un cubo singular tienen signos $\pm 1$ se deduce que la longitud de $\partial c_i$ es igual a cero y, por tanto la longitud de $\partial(\sum_i a_i c_i)$ es igual a cero. Sin embargo, la longitud de $c(t)=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$ es igual a $1$ por lo que no puede representarse como límite de una cadena singular. $\Box$

Si consideras el cubo singular: $b=(s\cos 2\pi t, s \sin 2\pi t)$ , $s,t\in [0,1]$ entonces $\partial b$ es una diferencia de dos cubos singulares: uno es $c$ y uno es un cubo constante (mapeado al centro). No es posible evitar estos cubos degenerados.

Según tengo entendido, este problema es lo que Tyler Lawson tenía en mente cuando escribió en su respuesta: La principal desventaja que viene únicamente desde el punto de vista de la homología es que tienes este irritante procedimiento de normalización: tienes que tomar las cadenas cúbicas en X y tomar el cociente por cubos degenerados.

Answer 2

No lo sé con seguridad, pero parece que quiere decir que es más fácil construir una cadena cúbica sobre un producto $X \times Y$ cadenas cúbicas dadas en $X$ et $Y$ en comparación con la cadena simplex dadas dos cadenas simplex.

Dado que es un ejercicio sencillo pasar de símplices a cubos y viceversa, no veo ninguna ventaja a los cubos. De hecho, esperaría que cualquier buen libro explicara que o bien de enfoques.

Sin embargo, complicaría innecesariamente la notación en los recuentos modernos de la teoría de categorías superiores. Lo aprendí de Lurie, Teoría de Topos Superiores , 0608040 y ahí sí que querrás mapear símplices porque querrás dibujar un simplex $[a_0, a_1, \cdots, a_n]$ en relación con una composición de $n$ flechas categóricas, la flecha de $a_0$ a $a_1$ etc.