Homología singular cúbica vs. simplicial

Question

La homología singular suele definirse mediante símiles singulares, pero Serre en su tesis utiliza cubos singulares, que según él se adaptan mejor al estudio de los espacios de fibras. Este joven (25 años por aquel entonces) parecía saber de lo que hablaba y desde entonces ha tenido una carrera no demasiado infructuosa.

Así que mis preguntas (bastante relacionadas) son

1) ¿Por qué tan pocos libros utilizan este enfoque (sólo conozco el de Massey)?

2) ¿Cuáles son los pros y los contras de ambos enfoques?

3) ¿Importa? Al fin y al cabo los grupos homológicos obtenidos son los mismos.

Answer 1

Otros han mencionado las ventajas de los conjuntos cúbicos, por lo que no quiero hablar mucho de ellas; sólo mencionaré algunos datos sobre la otra dirección. La principal desventaja que viene únicamente desde el punto de vista de la homología es que tienes este irritante procedimiento de normalización: tienes que tomar las cadenas cúbicas en X y tomar el cociente por cubos degenerados. (Se puede hacer lo mismo con las cadenas simpliciales y se obtiene la misma respuesta que la original). La teoría cúbica consigue sutilezas que otros han declarado.

Las principales ventajas de los símiles se aprecian sobre todo cuando se avanza un poco más en la teoría de la homotopía. La teoría de homotopía de los conjuntos simpliciales es, en algunos sentidos, simplemente más fácil que su análogo cúbico. Por ejemplo, el producto cartesiano de dos conjuntos simpliciales tiene como realización geométrica el producto de las realizaciones geométricas de sus factores. Por otro lado, el "intervalo cúbico" estándar I, que se realiza a [0,1], tiene un autoproducto I^2, cuya realización geométrica tiene grupo fundamental ℤ. En cierto modo, los símbolos juegan mejor con las degeneraciones que los cubos.

Los símiles también están más estrechamente ligados a las categorías a través del functor de nervio simplicial. Por ejemplo, existen las construcciones simpliciales de espacios clasificatorios que provienen de categorías, y éstas te dan bonitas construcciones de cohomología de grupos. (Quizá no conozca los análogos cúbicos).

También está la omnipresente "construcción de barra", que es irracionalmente útil en topología algebraica, y que procede de forma más natural de una construcción simplicial. La utilizamos para resolver módulos, mostrar equivalencias entre álgebras sobre diferentes operadas, y más aplicaciones que son casi demasiado numerosas para nombrarlas. Por ejemplo, May lo utilizó bastante en sus pruebas de que los espacios X que son álgebras sobre un E _∞ -operad tienen infinitos deloopings BX, B 2 X, ...

Sin embargo, se ha trabajado mucho en los conjuntos cúbicos, pero no soy la mejor autoridad en ello. Prueba con aquí como punto de partida.

Answer 2

Creo que los símiles son más convenientes para construir conos, mientras que los cubos son más convenientes para construir productos. De hecho, podemos pensar en los símiles como la colección más pequeña de poliedros que contiene un punto (0-símbolo) y está cerrada bajo la toma de conos, mientras que los cubos son la colección más pequeña que contiene un intervalo (1-cubo) y está cerrada bajo productos. (Alternativamente, contienen un punto y son cerrados bajo producto con un intervalo).

Personalmente, creo que es más conveniente hacer homología singular con la colección más grande de poliedros que es cerrada tanto bajo conos como productos. (Los poliedros n-dimensionales de esta colección están indexados por árboles enraizados con n aristas. Los símiles corresponden a árboles de máxima profundidad donde la valencia de un vértice es como máximo 2, mientras que los cubos corresponden a árboles de mínima profundidad (en forma de estrella) donde el vértice raíz tiene valencia n y todos los demás vértices tienen valencia 1).

Answer 3

Nuestro nuevo libro (NAT)

Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics vol 15

utiliza principalmente conjuntos cúbicos, en lugar de simpliciales. Las razones se explican en la Introducción: en las categorías superiores cúbicas estrictas podemos expresar fácilmente

inverso algebraico de la subdivisión ,

una simple intuición que me ha resultado difícil expresar en términos simplistas. Así, los cubos son útiles para los problemas que van de lo local a lo global. Esta intuición es crucial para nuestro Teorema de Seifert-van Kampen de homotopía superior, que permite nuevos cálculos de algunos tipos de homotopía y sugiere una nueva base para la topología algebraica en la frontera entre homotopía y homología.

Otra razón de las conexiones es que permitían una equivalencia entre módulos cruzados y ciertos grupoides dobles, y más tarde, complejos cruzados y cúbicos estrictos. $\omega$ -groupoides.

También los cubos tienen un bonito producto tensorial y este es crucial en el libro para obtener algunos resultados de clasificación de homotopías. Véase el capítulo 15.

He descubierto que con los cubos he podido conjeturar y al final demostrar teoremas que han permitido nuevos cálculos no abelianos en teoría de homotopía, por ejemplo, de grupos de homotopía relativos segundos. Así que me he conformado con usar cubos hasta que a alguien se le ocurra algo mejor. ( $n$ -métodos simplificados, en conjunción con ideas cúbicas, resultaron, sin embargo, necesarios para las pruebas en el trabajo con J.-L. Loday).

Consulte también algunas presentaciones de proyectores disponibles en mi página de preimpresión .

Insistimos en el punto anterior sobre las estructuras algebraicas: consideremos el siguiente diagrama:

De izquierda a derecha fotos subdivisión; de derecha a izquierda fotos composición. La idea de composición está bien formulada en términos de categorías dobles, y esa idea se generaliza fácilmente a $n$ -categorías, y se expresa bien en un contexto cúbico. En ese contexto se pueden conjeturar, y eventualmente demostrar, Teoremas de Seifert-van Kampen de mayor dimensión, que permiten nuevos cálculos en topología algebraica. Tales composiciones múltiples son difíciles de manejar en términos globulares o simpliciales.

Otra ventaja de los cubos, como se menciona en las respuestas anteriores, es que la fórmula $$I^m \times I^n \cong I^{m+n}$$ hace que los cubos sean muy útiles a la hora de considerar estructuras cerradas monoidales y monoidales. La mayoría de los principales resultados del libro EMS requirieron métodos cúbicos para su conjetura y demostración. Los principales resultados del capítulo 15 de NAT no se han hecho de forma simplificada. Véase, por ejemplo, el Teorema 15.6.1, sobre una subcategoría densa conveniente cerrada bajo producto tensorial.

5 de septiembre de 2015: El artículo de Vezzani arxiv::1405.4548 muestra un uso de métodos cúbicos, en lugar de simpliciales, en la teoría motivacional; mientras que el artículo de I. Patchkoria, HHA arXiv:1011.4870, Homology Homotopy Appl. Volume 14, Number 1 (2012), 133-158, ofrece una "Comparison of Cubical and Simplicial Derived Functors".

En todos estos casos, el uso de conexiones en los métodos cúbicos es crucial. Hay más debate sobre este tema mathoverflow . Para nosotros las conexiones surgieron para definir cubos conmutativos en categorías cúbicas superiores: compare este documento .

Véase también esta presentación de 2014 La intuición de los métodos cúbicos en topología algebraica .

13 de abril de 2016. Debo añadir alguna información adicional de Alberto Vezzani:

La teoría cúbica era más adecuada que la teoría simplicial cuando se trataba de (motivos de) espacios perfectoides en característica 0. Por ejemplo: los mapas de degeneración del complejo simplicial $\Delta$ en geometría algebraica se definen enviando una coordenada $x_i$ a la suma de dos coordenadas $y_j+y_{j+1}$ . Cuando se consideran las álgebras perfectoides obtenidas tomando todas las $p$ -raíces de las coordenadas, tales mapas ya no están definidos, ya que $y_j+y_{j+1}$ no tiene $p$ -th raíces en general. El complejo cúbico, por el contrario, se generaliza fácilmente al mundo de los perfectoides.

29 de noviembre de 2016 Hay más información en este documento sobre Modelización y cálculo de tipos de homotopía: I que puede servir de introducción al libro NAT.

26 de febrero de 2020 El teorema 5.4.7 del libro NAT es una generalización de un resultado de JHC Whitehead sobre módulos cruzados libres, en forma de una descripción completa del módulo cruzado $\pi_2(X \cup_f CA,X,x) \to \pi_1(X,x)$ en términos del morfismo $f_*:\pi_1(A,a) \to \pi_1(X, x)$ . La prueba en el libro NAT utiliza métodos cúbicos. (El caso de Whitehead era $A$ es una cuña de círculos). Así pues, tenemos que buscar comparaciones de un nivel razonablemente sofisticado de aplicaciones.

Answer 4

Ronnie Brown lleva mucho tiempo trabajando con categorías superiores cúbicas estrictas y argumenta que, mientras que para representar espacios las ventajas de los conjuntos simpliciales pueden ser mayores, para llevar la estructura algebraica son preferibles los conjuntos cúbicos. En efecto, la composición de celdas superiores no es tan bien visible en los conjuntos simpliciales como en los cúbicos (o globulares). Además, la definición de los inversos de las celdas superiores es mucho más algebraica, y los trucos algebraicos, como la subdivisión en celdas más pequeñas, funcionan de forma más obvia.

Además, la gente que trabaja con conjuntos cúbicos ha encontrado ventajoso introducir más mapas de degeneración que los obvios que "identifican" las caras opuestas del cubo, por ejemplo, los que identifican las caras vecinas (como en ). Esto permite una mayor flexibilidad a la hora de doblar los cubos en las formas deseadas, por ejemplo, en bolas como aquí .

Answer 5

Si no recuerdo mal, la prueba de la invariancia homotópica de la homología singular (al menos la de Hatcher) implica el corte de un (simplex)x(intervalo) en símiles, lo que quizá pueda resultar confuso. I

Realmente no importa, ya que como dices, al final obtienes los mismos resultados. Pero quizás en algún sentido los símiles son más "básicos" que los cubos, ya que puedes cortar fácilmente cubos (o cualquier otro poliedro) en símiles, pero no puedes cortar símiles en (finitamente muchos) cubos o incluso "rectángulos-tubos".

En cuanto a la respuesta de Ilya, en realidad no creo que los cubos compliquen tanto las cosas de la teoría de categorías superiores. Incluso podría facilitar ciertas cosas. Los símbolos son sólo un bonito formalismo con el que describir cosas como homotopías, y homotopías superiores, etc. Por ejemplo, si tienes mapas f, g, h tales que (f compone g) y h son homotópicos, puedes pensar en la homotopía como un triángulo que rellena el diagrama apropiado. Sin embargo, supongamos que sólo tenemos mapas f y g que son homotópicos. Entonces la homotopía es un "triángulo" con un borde "degenerado" que rellena el diagrama apropiado. Así que las simplicaciones tampoco son perfectas, todavía tenemos que permitir situaciones "degeneradas". En ese caso, podríamos haber empezado con cubos, permitiendo aristas degeneradas, para empezar...