Cómo probar $\frac{\tan (A)}{\tan (A)}+\frac{\cot (A)}{\cot (A)}=\frac{1}{1-2\cos(A)^2}$

Question

No puedo demostrar esta identidad trigonométrica

$$\frac{\tan (A)}{\tan (A)}+\frac{\cot (A)}{\cot (A)}=\frac{1}{1-2\cos^2(A)}$$

He intentado transformar el lado izquierdo y me he quedado con esto

$$\frac{2\sin(A)\cos(A)}{\sin(A)\cos(A)}$$

Y he intentado transformar el lado derecho cambiando el $$2\cos^2(A)$$ a $$\frac{2}{\sec^2(A)}$$ y utilizó la identidad trigonométrica $$1+\tan^2(A)=\sec^2(A)$$ y en su lugar obtuve esto

$$\frac{1+\tan^2(A)}{\tan^2(A)-1}$$ que puedo transformar en $$\frac{\cot(A)+\tan(A)}{\tan(A)-\cot(A)}$$ .

No consigo que ambos lados sean iguales, ¿ayuda por favor?

Answer 1

Una forma de demostrar que la identidad es falsa es la siguiente:

$$\begin {align} \dfrac {\tan A} {\tan A} + \dfrac{\cot A}{\cot A} = \dfrac {1}{1-2\cos^2 2A} \\ 2 = \dfrac {1}{1-2\cos^2 2A} \\ 2 (1-2\cos^2 2A) = 1 \\ 2 - 4\cos^2 2A = 1 \\ - 4\cos^2 2A = \dfrac {1}{2} \\ \cos^2 2A = -\dfrac {1}{8} \end {align}$$

Ya que la última línea nos obligaría a sacar la raíz cuadrada de un número negativo, $A$ no existe, y la identidad es falsa.