$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cos 2\pi k \theta$ no converge como $\theta \rightarrow 0?$

Question

Sabemos que la serie $H(\theta) := \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cos 2\pi k \theta$ es convergente para cada $\theta \in (0,1)$ y para $\theta = 0$ la serie tiende a $+ \infty$ . ¿Es cierto que el límite $\lim \limits_{\theta \rightarrow 0} H(\theta)$ no existe? ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Sabiendo que esta serie es convergente, puedes encontrar su suma utilizando la fórmula $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k} = -\log{(1-z)}. $$ Entonces la suma es $$ -\frac{1}{2}\left( \log{(1-e^{2\pi i \theta})}+\log{(1-e^{-2\pi i \theta})} \right), $$ y el límite de ésta como $\theta \to 0$ no existe, ya que $\log{z}$ diverge como $z \to 0$ .