¿Converge la integral de sen(xlogx) de 0 a infinito?

Question

Hoy he visto un post interesante: ¿La integral $\int_{1}^{\infty} \sin(x\log x) \,\mathrm{d}x$ ¿converger?

Me preguntaba si alguien podría explicar mejor la respuesta dada en el post. Concretamente, ¿por qué cada una de las In disminuye en su valor absoluto?

Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

En la explicación de por qué $\displaystyle \int_1^\infty \sin(x \log x) \mathrm{d} x$ converge, Johnathan Y. dice que si llamas a $I_n$ la integral entre el $n$ y $n+1$ st cambios de signo de $\sin(x \log x)$ entonces los valores de $I_n$ cambian de signo y disminuyen en valor absoluto, hacia $0$ .

Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que $x\log x$ es una función no negativa y estrictamente creciente sobre $[1, \infty]$ . Además, es cóncavo hacia arriba, lo que significa que tiene una segunda derivada positiva: por lo que la tasa a la que aumenta es a su vez creciente.

Los ceros de la función seno están en múltiplos de $\pi$ y $\sin (x)$ invierte el signo después de cada cero. Así que está claro que $I_n$ son de signo contrario, porque son integrales sobre regiones en las que $\sin$ es totalmente positiva o totalmente negativa.

¿Por qué es que $|I_{n+1}| < |I_n|$ ? La idea es que como $x\log x$ es cóncava hacia arriba, los ceros sucesivos se producen más rápidamente. Equivalentemente, $\sin(x\log x)$ oscila más rápidamente a medida que $x$ aumenta. El gráfico de $\sin (x\log x)$ tiene más o menos el mismo aspecto en cada intervalo, salvo que se "comprime" cada vez más, dando lugar a zonas más pequeñas.

¿Por qué es $|I_n| \to 0$ ? Como $|\sin(x)|$ está limitada por $1$ vemos que $|I_n|$ está limitada por la anchura del intervalo, es decir, la distancia entre los ceros sucesivos de $\sin(x\log x)$ . Esto de nuevo se reduce a examinar la idea de que desde $x \log x$ es cóncava hacia arriba, los ceros sucesivos se producen cada vez más rápidamente. De hecho, como los ceros de $\sin x$ están espaciados linealmente, pero el crecimiento de $x \log x$ es más que lineal, la distancia entre los ceros de $\sin (x \log x)$ va a $0$ , haciendo que $|I_n| \to 0$ .