La siguiente es una pregunta que a veces me hacen, y se me ocurre que no tengo una respuesta que me satisfaga del todo. En Rudin's Principios del análisis matemático , siguiendo el Teorema 3.29, escribe:
Por lo tanto, se podría conjeturar que existe una situación límite de algún tipo, una "frontera" con todas las series convergentes en un lado y todas las series divergentes en el otro, al menos en lo que respecta a las series con coeficientes monótonos. Esta noción de "frontera" es, por supuesto, bastante vaga. Lo que queremos decir es lo siguiente: No importa cómo precisemos esta noción, la conjetura es falsa. Los ejercicios 11(b) y 12(b) pueden servir de ilustración.
El ejercicio 11(b) dice que si $\sum_n a_n$ es una serie divergente de reales positivos, entonces $\sum_n a_n/s_n$ también diverge, donde $s_n = \sum_{i=1}^n a_n$ . El ejercicio 12(b) dice que si $\sum_n a_n$ es una serie convergente de reales positivos, entonces $\sum_n a_n/\sqrt{r_n}$ converge, donde $r_n = \sum_{i\ge n} a_i$ .
Aunque estos dos ejercicios son sugerentes, no son suficientes para convencerme de la firme afirmación de Rudin de que no importa cómo precisemos esta noción, la conjetura es falsa . ¿Existe algún teorema más sólido en este sentido?
Editar. Por ejemplo, ¿existe algún teorema sobre la topología/geometría de los espacios de todas las series convergentes/divergentes, donde una serie es vista como un punto en $\mathbb{R}^\infty$ o $(\mathbb{R}^+)^\infty$ en la forma obvia?
