Leí en un artículo sobre teoría de conjuntos que el sumo y el ínfimo del conjunto vacío se definen como $\sup(\{\})=-\infty$ y $\inf(\{\})=\infty$ . Pero intuitivamente no consigo entender por qué es así. ¿Hay alguna razón por la que el sumo y el ínfimo del conjunto vacío se definan así?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esto se suele hacer para que $$\sup(A\cup B)=\max(\sup(A),\sup(B))$$ y $$\inf(A\cup B)=\min(\inf(A),\inf(B))$$
En otras palabras, a medida que un conjunto disminuye, su supremum debería disminuir. Lo más pequeño que puede ser un conjunto es el conjunto vacío y lo más pequeño que puede ser su supremum es $-\infty$ . A medida que un conjunto disminuye, su mínimo debe aumentar. Lo más pequeño que puede ser un conjunto es el conjunto vacío y lo más grande que puede ser su infimo es $\infty$ .
Cagri
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Intuición
Esto va en contra de nuestra intuición porque pensamos que los supremos son "grandes" y los infimos "pequeños". El quid de la cuestión es que los supremos son lo "menos grande", y cuando cualquier cosa es grande $-$ como es el caso comparado con el conjunto vacío $-$ ¡entonces la "cosa menos grande" es la cosa más pequeña que puedes tener!
Más concretamente
Dado un conjunto $X$ equipado con algún orden $\le$ y algún subconjunto $Y \subseteq X$ podemos definir $\sup(Y)$ si existe, sea un elemento $s \in X$ tal que:
- $y \le s$ para cada $y \in Y$ y
- Si $y \le t$ para cada $y \in Y$ entonces $s \le t$ .
¿Por qué definirlo así? Bueno (1) dice que es un límite superior, y (2) dice que es un menos límite superior. (Eso es lo que es un supremum: un límite superior mínimo).
¿Y cuando $Y = \varnothing$ ? Entonces (1) se cumple trivialmente, ya que $\varnothing$ no tiene elementos; y análogamente (2) sólo se cumple si $s$ es un mínimo elemento del conjunto $X$ . [Fíjese bien en (1) y (2) para ver por qué son así.] Así que cuando $X$ es la recta real (ampliada), se obtiene $\sup(\varnothing)=-\infty$ .
Lo mismo ocurre con $\inf(Y)$ y $\infty$ .
samt
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633
Quieres $\sup$ y $\inf$ obedezca a la siguiente propiedad para dos conjuntos $A$ y $B$ si $A \subset B$ entonces $\inf(B) \leq \inf(A)$ y $\sup(A) \leq \sup(B)$ . Esto es muy fácil de demostrar para conjuntos no vacíos, para extender esta propiedad a conjuntos vacíos se hace la definición anteriormente mencionada.
Andy
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Además de las razones mencionadas anteriormente sobre que facilita las cosas, también tiene sentido intuitivamente si se piensa en cómo se define cada uno. El supremum es el límite superior más bajo de un conjunto, por lo que, dado que cualquier número real es un límite superior del conjunto vacío, ningún número real puede ser el límite superior más bajo. (Si x es ese límite, entonces x - 1 es un límite superior más bajo.) Por lo tanto, se define como $-\infty$ -- menor que cualquier número real, y análogamente para el ínfimo.
user87023
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1
Como dice robjohn, para los conjuntos $A$ y $B$ queremos $\sup (A\cup B) = \max(\sup (A), \sup (B))$ . Si $B=\emptyset$ entonces tenemos $$\sup (A) = \max(\sup (A), \sup (\emptyset)).$$ En otras palabras, $\sup (\emptyset)$ debe ser el elemento de identidad para la operación binaria $\max$ que es $-\infty$ . Dualmente, $\inf (\emptyset)$ debe ser $\infty$ .
Lo bueno de este punto de vista es que se generaliza inmediatamente a celosías completas ¡! La unión vacía es el elemento menor y la reunión vacía es el elemento mayor.
