Lista de 7 construcciones de Gromov en topología diferencial

Question

En el Conferencia de Investigación sobre la Arcilla 2010 Gromov explicó que sólo se conocen 7 métodos diferentes para construir variedades suaves. Trabajando de memoria, y por lo tanto no respetando necesariamente el orden que utilizó:

• Geometría algebraica (variedades afines y proyectivas, ...)
• Grupos de Lie (espacios homogéneos, ...)
• Argumentos generales de posición (teoría de Morse, construcción de Pontryagin-Thom, ...)
• Soluciones a las EDP (Espacios de módulos en teoría gauge, teoría de Floer, ...)
• Cirugía (técnicas de corte y pegado, ...)
• Procesos de Markov

Me doy cuenta de que sólo di 6 construcciones; éste era el número de elementos separados que figuraban en sus diapositivas, y como no discutió esta parte, me queda suponer que, o bien enumeró dos construcciones diferentes en una línea, que yo interpreté como variantes de la misma construcción, o que no incluyó ninguna en conjunto.

Pregunta ¿Cómo se construye una variedad suave a partir de procesos de Markov?

Pedí explicaciones a Gromov después de la charla, pero debido al carácter rudimentario de mi gromoviano, no pude entender la respuesta. La única palabra que logré descifrar es "hiperbólico", aunque yo no le daría demasiada importancia.

Answer 1

Lamentablemente me perdí la charla, pero por otro lado Gromov acaba de producir un nuevo documento llamado

Manifolds : ¿De dónde venimos? ¿Qué somos? ¿Hacia dónde vamos?

Se puede encontrar en su página web. Por el título supongo que podría haber alguna intersección con la charla. En particular en la sección 11 llamada Cristales, liposomas y Drosophila Gromov habla de "cocientes de Markov". Esto suena como una forma de producir "espacios" (generalización de los colectores, supongo).

http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/manifolds-Poincare.pdf

Answer 2

Sospecho (pero no estoy seguro) que Gromov puede estar refiriéndose a la correspondencia entre la dinámica simbólica y la hiperbólica .

La idea es básicamente que la matriz 0-1 correspondiente al patrón de dispersión de una matriz estocástica codifica un subdesplazamiento de tipo finito o cadena de Markov topológica . Sin embargo, normalmente se pasa de la dinámica hiperbólica a la descripción de Markov a través de una Partición de Markov o sección.

No conozco una manera de ir en la otra dirección en general, aunque poner ciertas condiciones en el proceso de Markov facilitaría la construcción de una partición de Markov (que luego se puede hacer tan pequeña como se quiera), para la cual los conjuntos de cobertura constituirían un atlas.

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Actualización: Así que investigué un poco y encontré un artículo de Coornaert y Papadopoulos titulado "Symbolic coding for the geodesic flow associated to a word hyperbolic group" ( Manuscripta Math. 109 465-492 (2002), DOI 10.1007/s00229-002-0321-9, PDF disponible aquí ). En él los autores discuten una idea de Gromov por la que a cada "grupo hiperbólico de palabras" $\Gamma$ se da un espacio con un flujo definido hasta la equivalencia orbital: este flujo se llama flujo geodésico asociado a $\Gamma$ . Cito:

En el caso de que $\Gamma$ es el grupo fundamental de una de Riemann $M$ de la negativa curvatura, entonces $\Gamma$ es la palabra hiperbólica y [el flujo geodésico asociado a $\Gamma$ ] es, hasta equivalencia orbital, la geodésica flow en el haz tangente de $M$ .

Sin embargo, en ninguna parte se indica que el espacio así construido sea genéricamente un colector. Aun así, esta construcción está muy relacionada con las ideas mencionadas anteriormente, como se indica en la introducción de este artículo.

Answer 3

Hay una entrevista con Gromov: http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/rtx100300391p.pdf

P: (...) ¿podría describir su participación y cómo sus conocimientos matemáticos y geométricos pueden ser útiles para los problemas de la biología?

Gromov: Puedo explicar cómo me involucré en eso. En Rusia, todo el mundo estaba entusiasmado con las ideas de René Thom sobre la aplicación de las matemáticas a la biología. Mi motivación posterior partió de un ángulo matemático, de los grupos hiperbólicos. Me di cuenta de que las particiones hiperbólicas de Markov eran vagamente similares a lo que ocurre en el proceso de división celular. Así que busqué en la literatura y hablé con gente, y me enteré de que existían los llamados sistemas de Lindenmayer. (...)

Y su documento sobre el tema: "División celular y geometría hiperbólica" http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/16%5B71%5D.pdf

Acabo de leer: Visiones en Matemáticas: Volumen Especial GAFA 2000, Parte I. El artículo de Gromov en la colección, titulado: "Espacios y preguntas" tiene una subsección: "Symbolization and Randomization" que puede ser interesante, habla de los "manifolds aleatorios" en profundidad e incluso toca una de las cuestiones de su charla: ensamblar manifolds combinatorios a partir de símiles (es decir, cuántos triángulos).