Demuestra que los elementos de estas dos secuencias no son nulos

Question

Dejemos que $x_{n+1}=x_n+2y_n$ y $y_{n+1}=y_n-x_n$ , donde $x_1=1$ y $y_1=-1$ .

Intenté probar por contradicción, intenté por inducción, no conseguí nada.

Esta es una pregunta que tuve en un examen, no conseguí resolverla, y después me pasé un día pensando en ella y aún no se me ocurrió nada.

Por favor, tenga en cuenta que no es necesaria una solución completa, si sólo pudiera proporcionar una pista, sería genial.

El origen de la pregunta era mostrar que $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ \end{array} \right)^n$ no tiene elementos nulos para ningún entero positivo $n$ .

Answer 1

La pareja $(x_n, y_n)^T$ es igual a $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. $$ Si quieres demostrar que no hay $n$ s.t. $x_n=y_n=0$ entonces sólo tienes que utilizar el hecho de que una matriz regular nunca mapea un vector distinto de cero a cero. Si quieres demostrar que para cualquier $n$ ni $x_n$ ni $y_n$ es cero, haga la descomposición de valores propios y calcule $x_n, y_n$ exactamente.

Answer 2

Dejemos que $A= \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ { - 1} & 1 \\ \end{array}} \right) $ . Intentemos diagonalizar este matirx, tenemos que encontrar primero el valor propio de $A$ .

\begin{align} \left| {\lambda I - A} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}c} {\lambda - 1} & { - 2} \\ 1 & {\lambda - 1} \\ \end{array}} \fin{s} por lo que no hay valores propios "reales" y por lo tanto la matriz $A$ no es diagonalizable; es decir, NO hay un matirx no singular $P$ tal que $PAP^{-1}=D$ (D:=diagonal matirx), o escribimos $A=P^{-1}DP$

Answer 3

Pista: mira sus restos $\pmod p$ para algunos primos pequeños $p$ .