¿Por qué la multiplicación por la izquierda en un grupo es biyectiva?

Question

Me he dado cuenta de que el hecho de que "la multiplicación por la izquierda en un grupo es siempre biyectiva" es un argumento muy común (por ejemplo, para demostrar el teorema de Sylow)

No veo por qué la multiplicación por la izquierda (y por la derecha) es biyectiva en general. Lo único que veo es que la multiplicación por la izquierda es una acción de un grupo sobre sí mismo, así que $G$ sea un grupo: $$\cdot: G \times G \longrightarrow G$$ $$(g,g') \longmapsto g \cdot g'=gg'$$ Las propiedades de las acciones de grupo se mantienen. He intentado demostrarlo por contradicción pero no soy capaz de encontrar ningún argumento útil. ¿Podría alguien iluminarme?

Answer 1

El mapa $\ell_g$ definido por $\ell_g(h)=gh$ es una biyección $G\to G$ . De hecho, hay que tener en cuenta que el mapa $\ell_{g^{-1}}=\ell_g^{-1}$ porque $$ (\ell_{g^{-1}}\circ\ell_g)(h)=g^{-1}gh=h$$ y de manera similar $$ (\ell_g\circ \ell_{g^{-1}})(h)=gg^{-1}h=h.$$ El argumento análogo muestra que el operador de multiplicación por la derecha es una biyección. Nótese que ninguno de estos operadores es un homomorfismo de grupo, excepto por ejemplo $\ell_e=\Bbb{1}_G.$

Answer 2

Supongamos que $gx=gy$ . Entonces $g^{-1} gx=g^{-1} gy \implies x=y$ . Eso demuestra la inyectividad.

Supongamos que $g'\in G$ . Entonces $g (g^{-1}g')=g'$ implica la subjetividad.

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Además, en términos de acciones, la multiplicación por la izquierda por un elemento de un grupo es transitivo y fiel . Son nociones algo similares.