¿Por qué la sustitución ser inyectiva cuando la integración por sustitución?

Question

He hecho un tonto error en la evaluación de algunas integral mediante el uso de un no inyectiva $u$-sustitución. Pero, ¿por qué $u$-sustituciones de ser inyectiva en el primer lugar?

Yo razonaba de la siguiente manera: la fórmula $$ \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}g(x)\ dx = \int_a^b g(\phi(t))\phi^\prime(t)\ dt $$ mantiene un general $C^1$ función de $\phi$, incluso si no es inyectiva. Cuando se calcula una integral de la forma $\int_a^b f(\phi(t))\ dt$, para utilizar la fórmula de arriba, de derecha a izquierda, usted debe encontrar una función $f$ tal que $$ f(\phi(t)) = g(\phi(t))\phi^\prime(t), $$ que no existen si $\phi$ no es inyectiva, es decir, $\phi(t) = 0$ algunos $t$. Esta es la razón por sustituciones deben ser inyectiva.

Es mi razonamiento correcto? Si es así, yo creo que si $\phi^\prime(t) = 0 \Rightarrow f(\phi(t)) = 0$, en función de la $g$ que satisface la fórmula anterior puede existir y $\phi$ no necesariamente debe ser inyectiva. Esto es correcto?

A menudo se me confunde el hecho de $\phi$ debe ser inyectiva. Es allí una manera intuitiva de interpretar este hecho, para que me recuerde siempre tomar un $\phi$ que es inyectiva?

Estaría agradecido si usted podría ayudarme a entender este asunto.

Answer 1

Al $f:\ I\to{\mathbb R}$ tiene una primitiva $F$ en el intervalo de $I$, entonces , por definición, $$\int_a^b f(t)\ dt =F(b)-F(a)$$ para cualquier $a$, $b\in I$; en particular, $b<a$ es permitido.

Al $\phi$ es diferenciable en a $[a,b]$ $g$ tiene una primitiva $G$ en un intervalo de $I$ contiene $\phi\bigl([a,b]\bigr)$, luego por la regla de la cadena $G \circ \phi$ es una primitiva de $(G\circ\phi)\cdot\phi'$$[a,b]$. De ello se sigue que $$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} g(x)\ dx =G\bigl(\phi(b)\bigr)-G\bigl(\phi(a)\bigr)=\int_a^bg\bigl(\phi(t)\bigr)\phi'(t)\ dt\ .\tag{1}$$ No hay duda de inyectividad aquí.

Ahora hay un segundo tipo de sustitución. Aquí se nos da una integral $$\int_a^b f(x)\ dx$$ sin ningún tipo de $\phi$ visible ni en las fronteras ni en el integrando. Nos corresponde a nosotros elegir un ingenioso $\phi$ definida en algún intervalo $J$ tales que (i) $a$, $b\in \phi(J)$ y (ii) $f\circ\phi$ se define en $J$. Suponga que $\phi(a')=a$, $\>\phi(b')=b$. Entonces, de acuerdo a $(1)$ hemos $$\int_a^b f(x)\ dx=\int_{a'}^{b'}f\bigl(\phi(t)\bigr)\>\phi'(t)\ dt\ .$$ No hay duda de inyectividad aquí, tampoco. Considere el siguiente ejemplo: $$\int_0^{1/2} x^2\ dx=\int_{-\pi}^{25\pi/6}\sin^2 t\>\cos t\ dt.$$ Es cierto que para esta segunda clase de la sustitución de uno por lo general se elige un inyectiva $\phi$, de modo que uno puede escribir de inmediato $\phi^{-1}(a)$ $\phi^{-1}(b)$ en lugar de "tomar una $a'$ tal que $\phi(a')=a\ $".

Answer 2

Bueno, imagino que la sustitución como la búsqueda de un camino a lo largo de la $x$-eje en este caso). Si ir de $a$ $b$y luego de vuelta de $b$ $a$se cancelará fuera de la integral y no calcular la integral en $[a,b]$ como usted pretende. Y todo tipo de intermedios cosas pueden suceder.

Tratar de "parametrización un" $[0,1]$ por $x=\sin t$, $0\le t\le\pi$, y de computación,$\displaystyle\int_0^1 x\,dx$, por ejemplo. Por supuesto, si el oficial de sustitución, se termina con $\int_0^0 x\,dx = 0$. Pero la función se ha "cubierto" el intervalo de $[0,1]$ y, a continuación, "al descubierto".