Processing math: 100%

3 votos

Puntos racionales en la secuencia de polinomios de Fibonacci

Dejemos que {an} sea una secuencia de polinomios en Q[x,y] con a0=0,a1=1 y an=xan1+yan2 Los primeros se parecen a a3:y+x2 a4:2xy+x3=x(2y+x2) a5:y2+3x2y+x4 a6:3xy2+4x3y+x5=x(y+x2)(3y+x2)

Tenga en cuenta que a6=0 tiene muchos puntos racionales evidentes, por ejemplo (3,9) .

Conjeturo: Para n>6 , an=0 no tiene puntos racionales no triviales. ¿Cómo puedo demostrar esto?

3voto

HappyEngineer Puntos 111

En primer lugar, puedes hacer el mismo tipo de truco para obtener una forma cerrada para esto que utilizamos para cualquier otra recurrencia lineal.

Las raíces de U2xUy=0 son u1,u2=x±x2+4y2 .

Y an=bun1+cun2 para algunos b,cR=Q(x,y)[x2+4y] .

Resolver para b y c obtenemos b=c y b(u1u2)=bx2+4y=1 .

Así que an=1x2+4y((x+x2+4y2)n(xx2+4y2)n)

Desde u1u2=y , un1=un2 para una racionalidad específica x,y significa que u2n1=(y)n Así que u21y debe ser un n raíz de 1 . Ahora:

u21y=x22yxx2+4y2y que, si x,y son racionales, es cuadrática sobre Q . Las únicas raíces primitivas de la unidad que son como máximo cuadráticas sobre Q son las raíces cuadradas, las raíces cuartas, las raíces cúbicas y las raíces sextas.

Obsérvese que esto también demuestra que si (x0,y0) es un punto racional de an entonces es un punto racional de akn para cualquier k . En realidad, esto se extiende a cualquier punto, porque el argumento de que u21y debe ser una raíz de la unidad se cumple siempre que un1=un2 y y0 .

Vale la pena añadir en el caso separado cuando x2+4y=0 que es el caso cuando u1=u2=x2 y entonces la fórmula cerrada es de la forma

an=(bn+c)(x2)n

Así que c=0 y bx/2=1 así que b=2x y la fórmula en este caso es:

an=n(x2)n1 Sólo es cero cuando x=0 y por lo tanto y=0 .

Una forma de ver eso an es un factor de ank es para notar que:

ank=1x2+4y(unk1unk2)=1x2+4y(un1un2)(...)

Y sólo mostrar que la sección elidida debe ser un polinomio en x,y. No es difícil - es una combinación de expresiones de la forma uk1+uk2 , lo que hace que todas las raíces cuadradas se cancelen.

¿Qué ocurre en los casos planteados? Es decir, cuando x2=y,2y,3y ?

Entonces lo consigues:

(x,y)=(1,1)u21y=132=1+32(x,y)=(2,2)u21y=0244=i(x,y)=(3,3)u21y=3336=1+32

Además, para a2 , obtenemos cualquier (0,y) es una raíz, y u21y=1 .

Así que tienes representadas todas las raíces cuadráticas y lineales de la unidad, excepto 1 sí mismo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X