En primer lugar, puedes hacer el mismo tipo de truco para obtener una forma cerrada para esto que utilizamos para cualquier otra recurrencia lineal.
Las raíces de U2−xU−y=0 son u1,u2=x±√x2+4y2 .
Y an=bun1+cun2 para algunos b,c∈R=Q(x,y)[√x2+4y] .
Resolver para b y c obtenemos b=−c y b(u1−u2)=b√x2+4y=1 .
Así que an=1√x2+4y((x+√x2+4y2)n−(x−√x2+4y2)n)
Desde u1u2=−y , un1=un2 para una racionalidad específica x,y significa que u2n1=(−y)n Así que −u21y debe ser un n raíz de 1 . Ahora:
−u21y=−x2−2y−x√x2+4y2y que, si x,y son racionales, es cuadrática sobre Q . Las únicas raíces primitivas de la unidad que son como máximo cuadráticas sobre Q son las raíces cuadradas, las raíces cuartas, las raíces cúbicas y las raíces sextas.
Obsérvese que esto también demuestra que si (x0,y0) es un punto racional de an entonces es un punto racional de akn para cualquier k . En realidad, esto se extiende a cualquier punto, porque el argumento de que −u21y debe ser una raíz de la unidad se cumple siempre que un1=un2 y y≠0 .
Vale la pena añadir en el caso separado cuando x2+4y=0 que es el caso cuando u1=u2=x2 y entonces la fórmula cerrada es de la forma
an=(bn+c)(x2)n
Así que c=0 y bx/2=1 así que b=2x y la fórmula en este caso es:
an=n(x2)n−1 Sólo es cero cuando x=0 y por lo tanto y=0 .
Una forma de ver eso an es un factor de ank es para notar que:
ank=1√x2+4y(unk1−unk2)=1√x2+4y(un1−un2)(...)
Y sólo mostrar que la sección elidida debe ser un polinomio en x,y. No es difícil - es una combinación de expresiones de la forma uk1+uk2 , lo que hace que todas las raíces cuadradas se cancelen.
¿Qué ocurre en los casos planteados? Es decir, cuando x2=−y,−2y,−3y ?
Entonces lo consigues:
(x,y)=(1,−1)⟹−u21y=1−√3−2=−1+√32(x,y)=(2,−2)⟹−u21y=0−2√−4−4=i(x,y)=(3,−3)⟹−u21y=−3−3√−3−6=1+√32
Además, para a2 , obtenemos cualquier (0,y) es una raíz, y −u21y=−1 .
Así que tienes representadas todas las raíces cuadráticas y lineales de la unidad, excepto 1 sí mismo.