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Desigualdad $\arctan x ≥ x-x^3/3$

¿Puede ayudarme a probar $\arctan x x-x^3/3$ ? He pensado en taylor pero no he dado con la solución.

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David Holden Puntos 10236

$$ 1 - t^4 \le 1 $$ así que $$ 1-t^2 \le \frac1{1+t^2} $$ ahora integrar $$ \int_0^x (1-t^2)dt \le \int_0^x \frac{dx}{1+t^2} $$ es decir $$ x-\frac{x^3}3 \le \arctan x $$

6voto

camickr Puntos 137095

¿Has probado los derivados? $$(\arctan x-x+x^3/3)'=\frac 1{1+x^2}-1+x^2=\frac{x^4}{1+x^2}\ge0$$ Así que la diferencia es una función creciente. Este hecho, junto con la igualdad cuando $x=0$ significa que $$\arctan x\ge x-x^3/3\text{ when }x\ge 0\\\arctan x\le x-x^3/3\text{ when }x\le 0$$

3voto

Dr. Sonnhard Graubner Puntos 14300

Dejar $$f(x)=\arctan(x)-x+\frac{x^3}{3}$$ para $x\geq 0$ para $x=0$ obtenemos $f(0)=0$ y para $x>0$ obtenemos $$f'(x)=\frac{x^4}{1+x^2}>0$$ por lo que obtenemos $$f(x)\geq 0$$ para todos los reales $x$ con $x\geq 0$ .

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