Entero de soluciones de $x^3+y^3=z^3$ el uso de métodos de la Teoría Algebraica de números

Question

Me piden demostrar que la famosa ecuación $$x^3+y^3=z^3$$ has no integer (non-trivial) solutions, i.e. FLT for $n=3$

Soy consciente de que en esta web hay soluciones utilizando los métodos de la Teoría de los números (el infinito descendiente de la prueba, por ejemplo, o bien, Wiles Teorema) Pero mi profesor nos dijo que se puede hacer por los métodos de la Teoría Algebraica de números, es decir, el uso de cierto número de campos y propiedades de ellos.

Como una sugerencia, nos dijo a considerar la extensión de $$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$$ y utilizando el resultado que caracteriza ramificado o no ramificado, de los números primos en cuadrática campos.

Ahora estaría mintiendo diciendo que tengo algo de idea sobre la manera de atacar este problema.

Pensé que algo útil vendría el uso de algunos analógica en el razonamiento de encontrar las raíces de $x^2+y^2=z^2$, es decir, el razonamiento con la norma de un determinado cuadrática extensión, sino que la norma da un cuadrática relación en este caso, y no uno cúbico. Por otro lado pensé, ok, vamos a considerar cúbicos de extensión, pero para $$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{d})$$ the norm of $a+b\sqrt[3]{d}+c\sqrt[3]{d^2} $ is $$a^3+b^3d+c^3d^2-3abc$$ and so I have a kind of cubic relation, BUT I don't know how to get rid of the $abc$ plazo.

Soy consciente de que esto no es un gran esfuerzo, pero esto es lo que soy capaz de pensar como una estrategia para atacar este problema.

En lugar de soluciones completas prefiero sugerencia y razonamientos, de lo contrario nunca voy a aprender cómo proceder con este tipo de problemas :)

Gracias de antemano

Answer 1

Fermat ecuación de cubos es una introducción a las notas de la conferencia en la teoría algebraica de números, ya que motiva el estudio de los anillos de enteros en un campo de número, y en parte ha sido desarrollado incluso para Diophantine problemas, por ejemplo, Kummer del trabajo relativo a la generalización de la factorización de los ideales. Para la ecuación de $x^3+y^3=z^3$ el número de campo es $\mathbb{Q}(\zeta)$ con una tercera raíz primitiva de la unidad $\zeta=e^{2\pi i/3}$. Su anillo de enteros es dado por $\mathbb{Z}[\zeta]$, que es de hecho un factorial anillo (porque es la Euclídea). Sus unidades están dadas por $\pm 1,\pm \zeta,\pm\zeta^{-1}$. Esto es crucial para demostrar de Euler resultado:

Teorema(de Euler $1770$): La ecuación de $x^3+y^3=z^3$ no tiene no trivial entero de soluciones.

La prueba utiliza propiedades de la divisibilidad en el anillo de $\mathbb{Z}[\zeta]$, a partir de la ecuación $$ z^3=x^3+y^3=(x+y)(x+\zeta y)(x+\zeta^2y). $$ El primer caso es $p=3\nmid xyz$. Podemos suponer que $x,y,z$ son coprime. Tenemos $z^3\equiv \pm 1\bmod 9$$x^3+y^3\equiv -2,0,2 \bmod 9$, por lo que el $x^3+y^3\neq z^3$, una contradicción. Por lo tanto, es de suponer que $3\mid xyz$, es decir, decir, $3\mid z$$3\nmid xy$. Ahora podemos reformular la ecuación como $$ x^3+y^3=(3^mz)^3, $$ con $x,y,z$ pares coprime y $3\nmid xyz$, donde hemos resuelto el caso de $m=0$. Ahora la idea es que el uso de descenso, es decir, a reducir para el caso de $m=0$. La ecuación anterior se convierte en $$ (3^mz)^3=(x+y)(x+\zeta y)(x+\zeta^2y), $$ donde los tres factores no son coprime, porque $1-\zeta$ es un factor común, porque de $3=(1-\zeta)(1-\zeta^2)$, por lo que el $(1-\zeta)\mid 3\mid (x+y)$. Sin embargo, desde la $\mathbb{Z}[\zeta]$ es factorial, todos los factores son los cubos, es decir , $x+y=3^{3m-1}c^3$ con $c\in \mathbb{Z}$, y así sucesivamente. Esto termina la prueba, después de algunos cálculos en este anillo.

Por desgracia, esta idea no funciona para $x^p+y^p=z^p$ para los números primos $p$, a excepción de $p\le 19$, porque de lo contrario el anillo de enteros $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ ya no factoriales.