¿Por qué exactamente la resistencia de un conductor es inversamente proporcional al área de su sección transversal?

Question

Antes de explicar mi consulta, me gustaría aclarar que soy un estudiante de noveno grado que obtuvo esta pregunta mientras estudiaba la fórmula $R \propto \frac{1}{A}$ donde $A$ es el área de la sección transversal.

Muchas veces he hecho esta pregunta a mis profesores y siempre me ponen el clásico "ejemplo del pasillo y el campo". Me decían que si 5 personas caminan por un pasillo, les resultará más difícil atravesarlo que si lo hicieran por un campo; lo mismo ocurre con los electrones que pasan por un conductor. Mi contraargumento sería que si la anchura del conductor aumenta, también lo hará el número de iones positivos (mi libro de texto dice que los iones positivos en los conductores dificultan el flujo de la corriente) y, por tanto, más la resistencia.

Agradecería mucho que me explicaran la respuesta en términos sencillos, ya que no estoy muy versado en las fórmulas más complejas que implica este concepto. Si no es así, indíqueme los conceptos que debería leer (preferiblemente los libros específicos) para entender mejor la solución.

Answer 1

Perdón por mi pobre inglés. Mi lengua materna es el francés.

También podemos preguntarnos sobre la conductancia: por qué es proporcional a la superficie.

La razón es que estamos trabajando con un modelo en el que la densidad de corriente se distribuye uniformemente sobre la sección transversal del director de orquesta. Es como si tuviéramos un montón de conductores idénticos en paralelo entre sí. Así, para una misma tensión, si multiplicamos el área por N, también multiplicamos la corriente por N. Esto no sería así si la distribución de la corriente no fuera uniforme. Por ejemplo, si tenemos en cuenta el efecto piel.

Otro ejemplo interesante es el de la ley de Hagen-Poiseuille en hidráulica: el caudal es proporcional a la diferencia de presión pero la conductancia hidráulica es proporcional al cuadrado del área: ¡no es proporcional al área! Esto se debe a que el perfil de velocidad es parabólico (y no uniforme). No es lo mismo duplicar el área de la tubería que tomar dos tuberías.

Answer 2

El siguiente modelo no es del todo cierto, pero es un modelo mucho más verdadero que el de las personas que caminan por un pasillo. Espero que sirva de ayuda.

Empieza por considerar una resistencia que sólo tiene un átomo de ancho, pero muchos átomos de largo, en una larga cadena.

Cada átomo tiene una nube de electrones. En un semiconductor, los electrones más externos de la nube electrónica están débilmente unidos a sus átomos. No hace falta un empujón muy fuerte para separar el electrón de su átomo, pero tampoco está libre. Y empujar un electrón para liberarlo de su átomo no lo hace libre para mantener moviendo ese electrón.

Tan pronto como el electrón es empujado fuera del primer átomo, verá otro átomo, sentado allí con todos sus orbitales de electrones llenos. Tiene que empujar uno de los electrones de ese átomo fuera de su orbital y ocupar su lugar. Entonces, tan pronto como que El electrón es empujado, it se encuentra con un átomo, y así sucesivamente.

El resultado final es que si queremos empujar un electrón hacia afuera en un extremo, necesitamos empujar un electrón hacia adentro en el otro extremo, con una cantidad de fuerza igual a la cantidad total de fuerza requerida para empujar todos los electrones un átomo más allá. Introducimos un electrón en un extremo de la resistencia, éste empuja un electrón adyacente un átomo por encima, éste empuja el siguiente electrón un átomo por encima, y así sucesivamente, hasta que llegamos al final de la resistencia y un electrón sale.

En un circuito, la tensión del circuito establece la cantidad de fuerza que el circuito puede proporcionar, por electrón.

Entonces, digamos que el voltaje del circuito puede empujar diez veces más fuerte de lo que se necesita para empujar un electrón a través de una línea de átomos en un segundo.

Entonces el circuito puede introducir diez electrones por segundo en un extremo de la resistencia, y diez electrones por segundo saldrán del otro extremo de la resistencia. La corriente fluye... pero no mucho.

¿Y si añadimos una segunda línea de átomos en paralelo con la primera? El circuito empuja por electrón para que pueda empujar otros diez electrones por segundo a través de la segunda línea de átomos. Dos líneas de átomos significan dos veces la corriente.

Y así sucesivamente para cada línea adicional de átomos: cada línea de átomos nos proporciona otros diez electrones por segundo que se introducen en un extremo y otros diez electrones por segundo que caen en el otro extremo de la resistencia.

El área de la sección transversal de la resistencia es proporcional al número de líneas de átomos que podemos meter en un extremo para que los electrones salgan por el otro.

Así que podemos decir: $A \propto I$ El área de la sección transversal es proporcional a la corriente.

Y como $R = V/I$

$R \propto 1/A$

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Podemos ir más lejos con este modelo y llegar a la fórmula estándar de la resistencia.

¿Qué ocurre si añadimos más átomos a cada línea, en serie, para que la línea de átomos sea más larga? Cada átomo se opone a nuestro empuje en la misma pequeña cantidad, y es del mismo tamaño. Por tanto, la resistencia debe ser proporcional a la longitud.

$R \propto L$ et $R \propto 1/A$

así que

$R \propto L/A$

Ahora sólo necesitamos una constante de proporcionalidad relacionada con la fuerza de cada electrón para empujar un átomo. Para la Resistencia, la constante de proporcionalidad está representada por $\rho$ (rho), la Resistividad del material.

$R = \rho L/A$