Distancia entre un punto y un conjunto en espacios métricos

Question

Dejemos que $(X, d)$ sea cualquier espacio métrico arbitrario. Ahora fijemos $y \in X$ y definir $d_y: X \rightarrow \mathbb{R}, d_y(x)= d(x,y)$ .

¿Cómo puedo demostrar que $d_y$ es continua en $X$ ? (Dada cualquier $y \in X$ ).

Además, deja que $A \subseteq X$ y arreglar $x \in X$ , defina $\rho(x, A) = \inf \{d(x,a) : a \in A \}$ ,

Demuestre que el cierre de $A$ es $\overline{A}=\{x \in X: \rho(x, A)=0 \}$

Por último, dejemos que $A \subseteq X$ sea un subconjunto compacto de $X$ .

Demostrar que $\rho(x, A) = d(x, a)$ para algunos $a \in A$ .

Answer 1

Problema 1

Dejemos que $\varepsilon > 0$ sea arbitraria, elija $\delta = \epsilon$ , intenta demostrar que $$ d(x,z)<\delta\implies \lvert d_y(x) - d_y(z)\rvert < \varepsilon $$ por su cuenta.

Problema 2

Recordemos que el cierre de $A$ es la unión de $A$ y sus puntos límite. Esto significa que tenemos que demostrar que si un punto $x$ es un punto límite de $A$ es decir, si existe una secuencia $(a_n)_n\subseteq A$ que converge a $x$ entonces $\rho(x,A) = 0$ y que si $\rho(x,A) = 0$ entonces podemos encontrar una secuencia $(a_n)_n\subseteq A$ que converge a $x$ .

Para mostrar la primera dirección, mostrar que siempre se puede encontrar algún $a\in A$ que está arbitrariamente cerca de $x$ utilizando la secuencia dada $(a_n)_n$ que converge a $x$ . Para demostrar lo segundo, utiliza la definición de infimo para intentar demostrar la existencia de $a\in A$ que están arbitrariamente cerca de $x$ .

Problema 3

En los espacios métricos, la compacidad es lo mismo que la compacidad secuencial, lo que significa que toda secuencia en $A$ tiene una subsecuencia convergente que converge dentro de $A$ . Primero demuestre que puede construir una secuencia $(a_n)_n\subseteq A$ para que $d(x,a_n)$ converge a $\rho(x,A)$ . Entonces, demuestre que esta secuencia $(a_n)_n$ es convergente (pista: los espacios compactos son completos). Por último, demuestre que $a\in A$ el límite de $a_n$ , satisface $\rho(x,A) = d(x,a)$ .

Buena suerte.