¿Cómo puede haber una aceleración radial sin ninguna fuerza radial?

Question

Es un problema de la mecánica de Kleppner:

Una cuenta de masa $m$ se desliza sin fricción sobre una varilla que se hace girar a una velocidad angular constante $\omega$ . Descuida la gravedad.

(a) Demuestre que $r = r_0 e^{\omega t}$ es un posible movimiento de la cuenta, donde $r_0$ es la distancia inicial del talón al pivote.

(b) Para el movimiento descrito en la parte (a), encuentre la fuerza ejercida sobre el cordón por la varilla.

(c) Para el movimiento descrito anteriormente, encuentre la potencia ejercida por la agencia que hace girar la varilla y demuestre por cálculo directo que esta potencia es igual a la tasa de cambio de energía cinética de la cuenta.

Estoy confundido sobre el hecho de que cómo puede haber aceleración radial sin ninguna fuerza radial. En realidad, puedo verlo en la ecuación, pero ¿cómo puedo entender el significado físico de esto?

Answer 1

Para moverse en un círculo, es necesario que haya una aceleración cetrípeta, y para ello es necesario que haya una fuerza centrípeta. Como tú mismo has señalado, no hay ninguna fuerza en dirección radial, lo que significa que la cuenta no puede moverse en círculo.

Otra forma de verlo es que la varilla ejerce una fuerza tangencial sobre el cordón, por lo que gana cierta velocidad en la dirección tangencial. Sin embargo, en el siguiente instante, cuando la varilla gira en un ángulo determinado, la dirección tangencial anterior ya no es la dirección tangencial, sino que tiene una componente radial. Por lo tanto, el cordón se desplaza en la dirección radial debido a las fuerzas ejercidas por los lados de la varilla.

Answer 2

Estoy confundido sobre el hecho de que cómo puede haber aceleración radial sin ninguna fuerza radial. En realidad, puedo verlo en la ecuación, pero ¿cómo puedo entender el significado físico de esto?

Para completar, incluyamos primero las matemáticas aquí.

Para La segunda ley de Newton en coordenadas polares tenemos $$\mathbf F=m\mathbf a=m(\ddot r-r\dot\theta^2)\,\hat r+m(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\,\hat\theta$$

Ahora bien, hay que tener cuidado con lo que se entiende por "aceleración radial". Si por aceleración radial se entiende $a_r=F_r/m$ Entonces, por supuesto, si no hay fuerza radial, no hay aceleración radial. Sin embargo, usted parece estar más interesado en $\ddot r$ como la "aceleración radial". Y por supuesto, como se puede ver, si $F_r=\ddot r-r\dot\theta^2=0$ Esto no significa que $\ddot r=0$ a menos que $r$ o $\dot\theta$ son $0$ .

Pero, ¿qué ocurre físicamente? La cuestión es que $\hat r$ y $\hat\theta$ cambiar de dirección en el espacio. Esto es diferente de la intuición que desarrollamos en la física introductoria en coordenadas cartesianas, donde los vectores unitarios son constantes. Por lo tanto, no se puede equiparar movimiento en alguna "dirección" con aceleración en alguna "dirección". Esto se debe a que "radial" y "tangencial" no son direcciones únicas y constantes; mi radial podría ser tu tangencial. De hecho, como ha dicho @dnaik ya señalado de forma más general En el movimiento circular uniforme la aceleración es totalmente radial, y sin embargo no hay movimiento en la dirección radial.

Si quieres volver a esta intuición, entonces vuelve a las coordenadas cartesianas. Por supuesto, es más difícil seguir las fuerzas, pero funcionará.