Prueba $\sin(a) < a < \tan(a)$ cuando $0 < a < \pi/2$

Question

Es fácil demostrar que $\sin(a) < \tan(a)$ cuando $0 < a < \pi/2$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\sin(a) < a < \tan(a)$ cuando $0 < a < \pi/2?$

Answer 1

Para $0 \le a \lt \frac{\pi}{2}$ , defina

$$f(a) = a - \sin(a) \tag{1}\label{eq1}$$

$$g(a) = \tan(a) - a \tag{2}\label{eq2}$$

Desde \eqref {eq1}, nota $f(0) = 0$ . Para $a \gt 0$ , $f'(a) = 1 - \cos(a) \gt 0$ así que $f(a) \gt 0$ , dando

$$\sin(a) \lt a \tag{3}\label{eq3}$$

Desde \eqref {eq2}, $g(0) = 0$ . Para $a \gt 0$ , $g'(a) = \frac{\cos(a)}{\cos(a)} + \frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)} - 1 = \frac{\sin^2(a)}{\cos^2(a)} \gt 0$ así que $g(a) \gt 0$ , dando

$$a \lt \tan(a) \tag{4}\label{eq4}$$

Poniendo \eqref {eq3} y \eqref {ec. 4} da como resultado

$$\sin(a) \lt a \lt \tan(a) \tag{5}\label{eq5}$$

para $0 \lt a \lt \frac{\pi}{2}$ .

Answer 2

Dejemos que $$f(x)=\sin x-x \rightarrow f'(x)=\cos x-1 \le 0.$$ Esto significa que f $(x)$ es una función decreciente en $[0,\pi/2]$ Así que $f(x) \le f(0) \Rightarrow \sin x \le x, x \in [0,\pi/2].$$

Siguiente toma $$g(x)=\tan x -x \Rightarrow g'(x)=\sec^2 x-1\ge 0.$$ Así que $g(x)$ es una fumigación creciente para $x \in [0, \infty).$ Entonces $$g(x) \ge g(0) \Rightarrow \tan x \ge x, x\in[0,\infty). $$