Encontrar la intersección de dos curvas

Question

Tengo dos curvas. La primera es una simple parábola descrita por

$$y = x^2+bx+c$$

La segunda es un poco más complicada y se describe con

$$y = ((n-x^2)/2/x)^2$$

Estoy tratando de encontrar el $x$ y $y$ intersecciones de esas dos curvas (siempre que se crucen), pero no puedo averiguar la fórmula a utilizar.

Probé el confiable WolframAlpha y lo que devuelto%5E2%3Dx%5E2%2Bb*x%2Bc) parecía ser demasiado complejo. ¿Es realmente tan complejo?

Answer 1

Uso de la entrada a Wolfram Alpha $$\frac{\left(n-x^2\right)^2}{4 x^2}=x^2+b x+c$$ se reduce a $$3 x^4+4 b x^3+2(2 c+n) x^2-n^2=0\tag 1$$ Ahora, echa un vistazo aquí ¡y disfrutar de la diversión de las soluciones analíticas de los polinomios cuárticos !

Sería mejor considerar métodos numéricos o, utilizando gráficos, considerar la intersección de las dos funciones $$f(x)=3x^2+4bx+2(2c+n) \qquad \qquad g(x)=\frac {n^2}{x^2}$$ Esto te dirá que hay exactamente dos raíces reales.

Si, en la página de Wikipedia, se mira el agradable $\Delta$ y aplicarlo a $(1)$ , debería obtener $$\Delta=-2304 n^4 \left(8 c^2+8 c n+5 n^2\right)$$ que siempre es negativo, lo que implica dos raíces reales distintas y dos raíces complejas conjugadas no reales.

Teniendo en cuenta el comportamiento de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ , sabes que una de las raíces es positiva mientras que la otra es negativa.