Transición suave del plano euclidiano al plano hiperbólico

Question

Si tengo un proceso puntual de Poisson $\mathcal{X}$ de la densidad $\lambda$ en el plano euclidiano $\mathbb{R}^2$ con la métrica euclidiana tomando pares de puntos a la distancia euclidiana,

$$ \operatorname{dist} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) = \sqrt{(x_1 -x_2)^2-(y_1-y_2)^2} $$

¿puedo permitir que la métrica dependa del tiempo, de manera que se aproxime suavemente (o no) a la métrica hiperbólica a medida que el tiempo atraviesa el intervalo unitario cerrado $[0,1]$ ?

Así que, inicialmente, $\mathcal{X}$ ve el espacio euclidiano, y finalmente el espacio hiperbólico,

$$ \operatorname{dist} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) = \operatorname{arcosh} \left( \cosh y_1 \cosh (x_2 - x_1) \cosh y_2 - \sinh y_1 \sinh y_2 \right) $$ con un número (quizás un conjunto finito) de espacios "negativamente curvados" entre ellos. Sólo una pequeña región necesitaría esta propiedad, no la totalidad de $\mathbb{R}^2$ .

El motivo es que afectaría a la estructura de un grafo aleatorio o de un complejo simplificado construido sobre los puntos (por ejemplo, la distribución de grados). ¿Es esto posible?

Nota: Tengo entendido que el flujo de Ricci es similar a esto, pero donde la métrica satisface una ecuación diferencial parcial.

Answer 1

Sí, esto es posible con una simple fórmula (aunque con un infinito familia de espacios intermedios; véase más adelante).

Como $t \in [0,1]$ varía, sólo hay que utilizar la familia de métricas $$e^{2ty} dx^2 + dy^2 $$ Cuando $t=1$ se obtiene la métrica $e^{2y}dx^2 + dy^2$ que es isométrica a la métrica del semiplano superior $\frac{dx^2 + dz^2}{z^2}$ utilizando la transformación $z=e^y$ (o quizás $z=e^{-y}$ ).

Como $t$ disminuye de $1$ a $0$ la curvatura $\kappa(t)$ varía de $\kappa(1)=-1$ a $\kappa(0)=0$ .

Obsérvese que se obtiene un infinito familia de espacios métricos hiperbólicos entre $t=0$ y $t=1$ . De hecho, no es razonable esperar sólo una familia finita, si uno quiere que la métrica varíe suavemente, porque la curvatura será entonces una función suave de $t$ y por lo tanto debe disminuir suavemente desde $\kappa(1)=-1$ a $\kappa(0)=0$ .