Problema de álgebra lineal

Question

Llevo horas con esto, sí, es una pregunta de tarea, pero no la entregué la semana pasada cuando se suponía que debía hacerlo, pero tengo un examen pronto, así que tengo que resolverlo, no estoy seguro de cómo formular preguntas usando un sistema de ecuaciones.

La densidad del oro es $19.3g/cm^3$ y la densidad de la plata es $10.5g/cm^3$ una determinada corona está hecha enteramente de plata y oro si el volumen total del crecido es $220cm^3$ y el peso de la corona es $3823.6g$ ¿qué porcentaje de la masa total es de oro?

No estoy seguro de cómo evitar las unidades, es decir, traté de asignar x para ser de oro e y de plata, pero esto $g/cm^3$ ¿cómo se puede equiparar eso a $3823.6g$ y que la unidad coincida. Quiero decir que todo lo que tengo en mi papel es $19.3x + 10.5y = 3823.6$ pero sé que está mal y de dónde saco la segunda ecuación. Estoy realmente atascado y frustrado. Mi libro no tiene un manual de soluciones así que no sabría si está bien o mal. Por favor ayúdenme a armar esto

Answer 1

Dejemos que $g$ sea el volumen de oro, en $ \text{cm}^3$ y $s$ sea el volumen de plata en las mismas unidades. El volumen de la corona es $ 220 \space\text{cm}^3$ Así que

$$g +s = 220$$

Cada $ \text{cm}^3$ de oro es $19.3\text{g}$ y el mismo volumen de plata es $10.5\text{g}$ . Multiplica el volumen individual de oro y plata para obtener el peso total de la corona. $$19.3g +10.5s = 3823.6$$

Ahora tienes 2 ecuaciones. Utiliza las ecuaciones simultáneas para resolver el volumen individual de oro y plata. Finalmente, encuentra el porcentaje de masa de oro tomando

$$\frac{19.3g}{3823.6g}$$

Actualización

Parece que estás buscando la manera de resolver la matriz. Voy a reescribir las ecuaciones para usted en la forma:

$$ \begin{align*} g +s &= 220\\ 19.3g +10.5s &= 3823.6 \end{align*} $$

Para poner la ecuación en forma de matriz,

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 19.3 & 10.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g \\ s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 220 \\ 3823.6\end{pmatrix} $$ Encontrar la inversa de la matriz $$ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 19.3 & 10.5 \end{pmatrix} $$ que es $$ \begin{pmatrix} -1.193 & 0.114\\ 2.193 & 0-.114 \end{pmatrix} $$ Y la ecuación que se quiere resolver será

$$ \begin{pmatrix} -1.193 & 0.114\\ 2.193 & 0-.114 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 19.3 & 10.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g \\ s\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1.193 & 0.114\\ 2.193 & 0-.114 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 220 \\ 3823.6\end{pmatrix} $$

El lado izquierdo se evaluará para ser un $2 \times 2$ matriz de identidad, que ha identificado como $I$ . La parte derecha le dará los valores de $g$ y $s$ respectivamente.

Answer 2

Que la corona sea enteramente de oro. Entonces, por cada $cm^3 $ si la haces de plata en lugar de oro perderás 8,8 gramos del total de la corona. si fuera toda de oro pesaría $19.3 \frac{grams}{cm^3}*220 cm^3 = 4246$ gramos por lo que la corona pesa $4246-3823= 423$ gramos menos que el oro puro.

Desde o cada $cm^3$ sustituyes con plata reduces el peso en 8,8 gramos entonces si x es el número de $cm^3$ de plata entonces $x*8.8=423$ así que $x=\frac{423}{8.8} $ que es aproximadamente 48,07

Mirándolo en un sistema de ecuaciones (método ligeramente diferente) se vería así, donde $x_1$ y $x_2$ son los $cm^3$ de oro y plata respectivamente: $x_1+x_2=220$ y $19.3x_1+10.5x_2=3823.6$ así que ahora sólo tienes que resolver estas dos igualdades.