Un objeto tridimensional está girando alrededor de un eje tridimensional desconocido que pasa por el centro de masa del objeto. Su orientación está descrita por dos vectores unitarios. Conozco una orientación inicial y una orientación final y el tiempo entre ellas $\tau$ . Cuatro vectores en total. Llamemos a los vectores de orientación iniciales $\vec{a_0}$ y $\vec{b_0}$ y los vectores finales $\vec{a}$ y $\vec{b}$ . Ambos vectores apuntan fuera del centro de masa del objeto. ¿Cómo puedo encontrar el vector velocidad de rotación $\vec{\omega}$ donde la dirección es el eje de rotación, y la longitud es la velocidad angular en rad/seg según la regla de la mano derecha?
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Gil Milow
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El vector de velocidad de rotación $\vec \omega$ debe estar en el plano perpendicular a la diferencia de vectores $\vec a - \vec a_0$ y también estar en el plano perpendicular a la diferencia de vectores $\vec b - \vec b_0$ . En consecuencia, a menos que estas dos diferencias vectoriales sean paralelas entre sí (y siempre que ninguna de ellas sea cero), el vector velocidad de rotación debe ser paralelo al vector producto cruzado $ ((\vec a - \vec a_0) \times (\vec b - \vec b_0)) $ ; es decir, explícitamente:
$$ \vec \omega := \frac{ \| \vec \omega \| }{ \| ((\vec a - \vec a_0) \times (\vec b - \vec b_0)) \| } ((\vec a - \vec a_0) \times (\vec b - \vec b_0)).$$
Además, la "velocidad de rotación" $\| \vec \omega \|$ puede determinarse mediante
$$ \frac{1}{\| \vec \omega \|} := \frac{\tau}{2~\pi}~\text{ArcCos}[~ \frac{ (((\| \vec \omega \|)^2~\vec a - \vec \omega (\vec a \cdot \vec \omega)) \cdot ((\| \vec \omega \|)^2~\vec a_0 - \vec \omega (\vec a_0 \cdot \vec \omega))) }{ (\| (\| \vec \omega \|)^2~\vec a - \vec \omega (\vec a \cdot \vec \omega) \|) (\| (\| \vec \omega \|)^2~\vec a_0 - \vec \omega (\vec a_0 \cdot \vec \omega) \|) }~],$$
o igualmente por una expresión correspondiente en términos de vectores $\vec b$ y $\vec b_0$ .
Tenga en cuenta que el argumento del $\text{ArcCos}$ es una fracción independiente de la magnitud del vector $\vec \omega$ (pero depende de la dirección del vector $\vec \omega$ que debe ser distinto de cero, por supuesto). Por lo tanto, la expresión anterior para la "velocidad de rotación" $\| \vec \omega \|$ puede evaluarse explícitamente sustituyendo el vector del producto cruzado $ ((\vec a - \vec a_0) \times (\vec b - \vec b_0)) $ para $\vec \omega$ en el argumento del $\text{ArcCos}$ en el lado derecho de la expresión.
Esto puede simplificarse un poco más señalando que la "rotación" significa que
$(\vec a \cdot \vec a) = (\vec a_0 \cdot \vec a_0)$ así como $(\vec a \cdot \vec \omega) = (\vec a_0 \cdot \vec \omega)$ ,
e igualmente
$(\vec b \cdot \vec b) = (\vec b_0 \cdot \vec b_0)$ así como $(\vec b \cdot \vec \omega) = (\vec b_0 \cdot \vec \omega)$ ;
pero las expresiones explícitas resultantes para la "velocidad de rotación" $\| \vec \omega \|$ o incluso para el vector velocidad de rotación $\vec \omega$ siguen pareciendo demasiado complicadas para que merezca la pena escribirlas aquí explícitamente.
Floris
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54054
Cuando un mismo vector gira de un ángulo a otro, y el ángulo entre ellos no es de 180º, entonces hay infinitos ejes de rotación que podrían haberlo provocado - y estos ejes se encuentran todos en un plano que biseca los dos vectores.
Cuando tienes dos pares de vectores, entonces para cada par habría un plano de este tipo, y el eje de rotación real será la intersección de estos planos.
Puede que no sea posible resolver tanto el eje como la magnitud de la rotación, ya que en principio el problema está sobredimensionado.
Pero supongamos que el problema es resoluble (se tiene un par de vectores reales, y un eje de rotación desconocido). Entonces podemos resolverlo de la siguiente manera.
Encontramos el plano que biseca los dos $a$ vectores, y el plano que biseca el $b$ vectores. La intersección de estos planos es el eje de rotación. Deberíamos ser capaces de encontrar la magnitud de la rotación considerando $a$ o $b$ - y obtener la misma respuesta. Si no lo hacemos, podríamos utilizar un valor "intermedio" que nos acerque a ambos.
La dirección de la línea de intersección $\vec z$ es normal a la normal de ambos planos. Para ello hay que tomar muchos productos cruzados. Primero definimos
$$\vec{a_n} = \vec{a_0}\times\vec{a_1}$$
y
$$\vec{b_n} = \vec{b_0}\times\vec{b_1}$$
donde los vectores de entrada se han normalizado (longitud unitaria). El producto cruzado nos da un vector que es perpendicular al par de vectores: es uno de los vectores de cada uno de los planos que queremos intersecar.
El segundo vector que necesitamos es la suma de los $a$ y $b$ vectores (que biseca a los dos):
$$\vec{a_s} = \vec{a_0}+\vec{a_1}\\ \vec{b_s} = \vec{b_0}+\vec{b_1}$$
Ahora necesitamos las normales de los planos:
$$\vec{a_p}=\vec{a_s}\times\vec{a_n}\\ \vec{b_p}=\vec{b_s}\times\vec{b_n}$$
Y finalmente la línea que es la intersección de estos planos es perpendicular a estas dos normales, por lo que
$$\vec{z}=\vec{a_p}\times\vec{b_p}$$
Esto nos da la dirección, pero no la magnitud. No estoy seguro de que se pueda garantizar la existencia de una magnitud única, ya que, como he dicho anteriormente, el problema está sobredimensionado. Pero, en principio, deberías poder proyectar la rotación necesaria (por ejemplo $\vec{a_n}$ ) en $\vec{z}$ para obtener la escala correcta. Pero creo que, en general, no obtendrás el mismo valor dependiendo de si proyectas sobre $a$ o $b$ .
Gracias a ambos por la ayuda. Yo mismo he podido encontrar una solución, creo que mejor, pero sólo en parte porque funciona. ¿Tal vez usted podría ayudarme con eso? Si descompongo la rotación en tres componentes que cada uno va a satisfacer la rotación para cada vector, puedo sumar los componentes juntos para encontrar el eje de rotación total.He probado esto en geogebra y funciona.
La fórmula
$\vec{a}$ y $\vec{b}$ son ambos vectores unitarios y ortogonales entre sí. $$\mbox{I}:$$ $$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$$ $$\vec{c}_0 = \vec{a}_0 \times \vec{b}_0$$ $$\vec{a}_r = \vec{a}_0 \times \vec{a}$$ $$\vec{b}_r = \vec{b}_0 \times \vec{b}$$ $$\vec{c}_r = \vec{c}_0 \times \vec{c}$$ $$\vec{\omega}_{dir} = \vec{a}_r + \vec{b}_r + \vec{c}_r$$ $$\mbox{II}:$$ $$|\vec{\omega}_{dir}| = 2\sin{\alpha}$$ $$\vec{\omega} = \frac{1}{\tau}\frac{\vec{\omega}_{dir}}{|\vec{\omega}_{dir}|} \arcsin(\frac{|\vec{\omega}_{dir}|}{2})$$ $\vec{\omega}$ es el eje que pasa por el centro de masa del objeto, alrededor del cual gira según un sistema de coordenadas de la mano derecha. $|\vec{\omega}| = \alpha$ y $\alpha$ es el ángulo que el objeto gira alrededor del eje. Esta fórmula sólo funciona cuando $\alpha \leq 90^\circ$ .
Cómo funciona
O más bien cómo se me ocurrió la fórmula. Yo mismo no entiendo muy bien cómo funciona. $$\mbox{I}:$$ En primer lugar, defino un vector $\vec{c}$ que también es un vector unitario y ortogonal a $\vec{a}$ y $\vec{b}$ . $\vec{a}$ , $\vec{b}$ y $\vec{c}$ puede definirse entonces como el sistema de coordenadas local del objeto. Sea $\vec{x}$ , $\vec{y}$ y $\vec{z}$ sean los vectores unitarios que describen el sistema de coordenadas mundial, los tres ortogonales. Empecé imaginando la situación en la que $\vec{a}$ y $\vec{b}$ donde en el $\vec{x}$$ |vec{y} $-plane and the rotation axis ($ \N - vec {\omega} $) pointing in the $ |vec{z} $ direction. The cross product between the initial and final positions of $ |vec{a} $ ($ \N - vec{a}_r $), and the same for $ |vec{b} $ will now point in the right direction (the direction of $ \N - vec {\omega} $), and so will their sum. $ \N - vec{c}_r $ will be zero, so if I throw that in as an addent, for symmetry reasons, the answer will be the same for this situation. Let's call the sum $ \ de la vida $. If I reverse the rotation, $ \vec{\omega}_{dir}$ invertirá su dirección, así que hasta ahora se ve bien.
Si giro la situación, también funcionará. Por ejemplo, si $\vec{b}$ y $\vec{c}$ estaban en, por ejemplo, el $\vec{y}$$ \vec{z}$-plano. O cualquier otra combinación.
También he probado situaciones intermedias en geogebra, y lo he comparado con la fórmula de rotación de Rodrigues. Dio el resultado correcto, pero no sé por qué. $$\mbox{II}:$$ Para calcular la magnitud de la rotación ( $|\vec{\omega}_{dir}|$ ), pensé en el; $\vec{a}$ y $\vec{b}$ en el $\vec{x}$$ |vec{y} $-plane situation. Due to the nature of the cross product, we see that $ |\ y la de los demás. $ and $ |\ y que no se puede hacer nada. $ must be $ \N - en la que se encuentra el alfa. $. Therefore the length of the sum must be $ 2\sin{{alpha}$. Esto también funciona en todas las situaciones según mis experimentos.
