¿Cuál es el objetivo de la aproximación lineal $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ ?

Question

¿Cuál es el objetivo de la aproximación lineal $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ ?

Al usar esto, nos encontramos con todo tipo de problemas. Por ejemplo, cuando un material se calienta dos veces por 1K obtenemos $L=L_1+\alpha L_1=L_0+\alpha L_0+\alpha (L_0+\alpha L_0) = L_0+2\alpha L_0+\alpha^2L_0$ .

Sin embargo, cuando se calienta por 2K obtenemos $L=L_0+2\alpha L_0$ . Algo similar se ha discutido en Error en la expansión térmica lineal, $L_0$ debe ser $0$ . Esto es no un duplicado.

Así es la fórmula correcta $L = e^{\alpha\Delta T} L_0 $ ? Esto parece lo más lógico cuando se trata de un material que se calienta cada vez más veces, ya que entonces se asemeja a la serie de Taylor de $e^x$ en $\alpha\Delta T$ . Si es así, ¿cuál es el objetivo de la aproximación lineal?

Answer 1

La fórmula será una buena aproximación para un rango de temperatura "razonable". Sin embargo, observa en la descripción de tu problema original, que $$L_0$$ es la longitud del objeto a una temperatura estándar. Si es necesario, tendrás que calcular esta longitud, y basar todas tus diferencias de temperatura en la temperatura estándar que corresponde a esta longitud. Una vez hecho esto, la relación lineal que has anotado en tu pregunta debería funcionar bien.

Answer 2

Permítanme ampliar el argumento en el comentario. La cuestión es que si tenemos realmente un coeficiente $\alpha(t)$ deberíamos considerar cómo se compara el error de su aproximación con el error del segundo término de la expansión exponencial.

Es un mecanismo tan estándar que nunca nos detenemos a considerarlo. Se podría decir que la expansión es una función de la temperatura y la longitud de partida y de la temperatura final, imaginemos $L_f= L(L_i,T_i,T_f)$ . Primero vamos a una formulación de diferencias $L_f = L_i + \Delta L (L_i,\alpha(T_i), T_f-T_i)$ entonces $L_f - L_i = L_i K(\alpha(T_i),\Delta T$ ), entonces $\Delta L = L_i \alpha(T_i) \Delta T$ y por último el totalmente lineal (en $L$ y $\Delta T$ ) aproximación $\Delta L = \alpha L_i \Delta T$ .

Puedes ir a las tablas y considerar cada paso si tu necesidad práctica lo requiere. Pero deberías integrar en temperatura y dilatación, y considerar todas las fuentes de inexactitud. Utilizar una exponencial, que de todas formas sólo es válida si alfa es constante en todo el rango de temperatura, no simplifica los cálculos y da una falsa sensación de precisión.

Answer 3

Leer en voz alta la fórmula $\ \Delta L = \alpha L_0 \Delta T\ $ que expresa el alargamiento de un material en función de la variación de la temperatura:
$\frac{\Delta L}{\Delta T}$ es la tasa de cambio de la longitud en función del cambio de temperatura - es la tangente a la curva L(T) en cualquier punto específico $L_0$ . También es el coeficiente del primer término de la expansión en serie de la función correcta.
La variación tiene que ser proporcional a la longitud inicial $L_0$ (en el lado derecho). Esto significa que una barra con el doble de la longitud dará el doble de la expansión, y así sucesivamente.
El $ \alpha $ es el coeficiente de dilatación y depende del material, es decir: los materiales tienen respuestas diferentes al calor. Por ejemplo: segmentos de arcilla y de hierro de igual longitud se alargarán de forma diferente dentro de un horno.
Así, el $\ \alpha L_0 $ es la pendiente de la tangente. La fórmula es válida para pequeñas variaciones de la temperatura.
$\ \frac{\Delta L}{\Delta T} = \alpha L $ , unidades de $\alpha=\frac{1}{Temp}$ y
la solución de $\alpha L(T)=L^{'}(T)$
es $L(T) = L_0\cdot e^{\alpha\ T}$ , ver aquí

Parece que lo que llamamos primera aproximación es efectivamente la solución completa.

añadir:
aclaración de la autosimilaridad propiedad de este sistema;
elija las unidades de temperatura (ut) de forma que $alpha=1$ para una barra de longitud unitaria ( $L_0=1$ ), tenemos una relación simplificada $l(x) = e^{x}$ donde x es adimensional y depende de T

el alargamiento debido a la variación de dos unidades x puede calcularse de varias maneras:
un paso de 2x :
$l=e^2=7.3890560989$
dos pasos de 1x cada uno :
$l=l1+l2; l1=e^1; l2=l1*(e^1)=(e^1)*(e^1)=(e^2)=7.3890560989$
etc ,...

La respuesta a la OP era completa.

Después de la pregunta original y mi respuesta, pondré ese objeto en contexto, perdiendo calor y propagándolo al ambiente a medida que pasa el tiempo.

Imaginemos que el objeto fue sacado a tiempo=0 (longitud 1, masa 1, etc) de un horno (a alta temperatura T=1), escalemos las unidades a voluntad.

P1 : ¿Puede el calor alcanzar una distancia "infinita" del objeto?
A1 : No, porque no se dispone de un tiempo infinito.

P2 : ¿Puede el objeto alcanzar cualquier tamaño pequeño arbitrario en el futuro?
A2a : No (ingenuo y obvio). Cuando la temperatura llega a 0ºK el objeto mantiene su tamaño mínimo.
A2b : SÍ (elaborado) . Dado que las partículas tienen campos electromagnéticos y gravitacionales asociados, se debe detallar una respuesta más completa:
- Cuando la temperatura se acerca a 0ºK , los campos asociados a la partículas de los átomos del objeto se extienden a lo lejos de la configuración original. Imposible de detener. - Debido a que los campos tienen energía las partículas deben agotar su masa a favor de los campos crecientes y el tamaño mínimo es una cantidad que evoluciona a la baja.

Por eso considero que una causa clara de la expansión espacial observada es la contracción de la materia, en lugar de una expansión espacial inexplicable y acausal.

De hecho, nuestras unidades de medida no se basan en el espacio sino en las propiedades de la materia y, por consiguiente, en el laboratorio no podemos medir una variación lenta y sincrónica de todos los objetos y reglas.
La evolución del universo, en general, se puede explicar así (en mi perfil).

Como vimos la primera ecuación anterior es capaz de representar la evolución del universo (sustituyendo la dependencia de la disminución de la temperatura con el aumento del tiempo).