Demostrando que $f$ es idéntico a cero

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua en $\mathbb{R}$ y que $f(r) = 0$ para cada número racional $r$ . Demostrar que $f(x) = 0$ $\forall$ $x \in \mathbb{R}$

Bien, esto es lo que he hecho:

Dejemos que $c \in \mathbb{Q}$ .
Desde entonces, $f$ es continua por lo que $\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ tal que $\forall x \in (c-\delta, c+\delta)$ , deberíamos tener $|f(x)| < \epsilon$ . Ahora, dejemos que $d \in (c-\delta, c+\delta) \cap \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , $|f(d)| < \epsilon$ . Desde $\epsilon$ es arbitraria, tenemos $f(d) =0$

Por lo tanto, $\forall c \in \mathbb{Q}$ , $\exists \delta > 0$ tal que $\forall$ $|x-c| < \delta$ , $f(x) = 0$

De aquí, ¿cómo deduzco que $f(x) = 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$ ?

(Sólo para mencionar : puedo pensar intuitivamente que debe ser cierto porque como se puede ir tomando unión de estos barrios pero no pude demostrarlo rigurosamente)

Answer 1

El paso que sigue a "desde $\epsilon$ es arbitrario..." no es del todo correcto.

Ha demostrado que si $d \in (c-\delta, c+\delta) \cap \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ entonces $|f(d)|< \epsilon$ . Se quiere decir que se podría hacer epsilon cada vez más pequeño; el problema con esto es que $\delta$ depende de $\epsilon$ . Si quieres $|f(d)|< \frac{\epsilon}{2}$ , es posible que tenga que estar en un intervalo más pequeño $(c-\eta, c+\eta)$ para algunos $\eta< \delta$ . Así que no se puede concluir que $|f(d)|<\epsilon$ para todo $\epsilon>0$ sólo por el épsilon que elegiste.

La forma más hábil de demostrarlo es utilizar el hecho de que $f$ es continua si y sólo si para cada secuencia $(x_n)$ tal que $\lim_{n \to \infty}x_n \to x_0$ tenemos $\lim_{n \to \infty}f(x_n) \to f(x_0)$ . Si dejas que $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , puede elegir una secuencia $(x_n)$ para que $\lim_{n \to \infty} f(x_n)=0$ ? (Esto funciona si $f(x_n)=0$ para todos $n$ ...)

Si quieres ir por la ruta delta-epsilon, entonces dado $c \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ , ya sabes que para todos $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in (c-\delta,c+\delta)$ , $|f(x)-f(c)|< \epsilon$ . En particular, para cada $\epsilon$ y los correspondientes $\delta$ Habrá un $x \in (c-\delta,c+\delta) \cap \mathbb{Q}$ . ¿Qué puede concluir de esto?

Answer 2

Lo único que queda por demostrar es que $f(r)=0\forall r\in \Bbb Q^c$

Desde $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ así que dado $r\in \Bbb Q^c;\exists r_n\in \Bbb Q$ tal que $r_n\to r$

$f$ es continua por lo que $r_n\to r\implies f(r_n)\to f(r)\implies f(r)=0$

Answer 3

Dejemos que $x\in\mathbb R$ . Por continuidad, $f(x)=\lim_{y\to x}f(y)$ . Al existir este límite, es independiente de la forma de aproximación $y\to x$ En concreto, podemos suponer que $y\to x$ a través de valores racionales ya que $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ . Pero entonces $f(x) = \lim_{y\to x} 0 = 0$ .

Answer 4

Un enfoque ligeramente más topológico:

Teorema : Dejemos que $(X, \tau_X)$ , $(Y, \tau_Y)$ sean dos espacios topológicos. Supongamos que $Y$ es Hausdorff y que $D \subset X$ es un subconjunto denso en $X$ . Sea $f,g: X \to Y$ sean dos funciones continuas tales que $f_{|D}=g_{|D}$ . Entonces $f=g$ en $X$ .

El teorema se demuestra en esta pregunta .

Ahora, $f_{|\mathbb Q}=0$ y $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ que es Hausdorff. Por el teorema anterior, $$f=0$$