Hallar el valor esperado mediante la FCD

Question

Voy a empezar diciendo que este es un problema de deberes directamente del libro. He pasado un par de horas buscando cómo encontrar los valores esperados, y he determinado que no entiendo nada.

Dejemos que $X$ tienen el CDF $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$ .
Encuentre $E(X)$ para aquellos valores de $\alpha$ para lo cual $E(X)$ existe.

No tengo ni idea de cómo empezar esto. ¿Cómo puedo determinar qué valores de $\alpha$ ¿Existe? Tampoco sé qué hacer con la FCD (supongo que significa Función de Distribución Acumulativa). Hay fórmulas para encontrar el valor esperado cuando se tiene una función de frecuencia o de densidad. Wikipedia dice que la FCD de $X$ puede definirse en términos de la función de densidad de probabilidad $f$ de la siguiente manera:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Hasta aquí llegué. ¿A dónde voy a partir de aquí?

EDIT: Quise poner $x\ge1$ .

Answer 1

En el caso de que se necesite una expectativa condicional utilizando sólo la FCD, podemos formular dos casos,

$\mathbb{E}\left(x|x\geq y\right)=y+\frac{\int_{y}^{\infty}\left(1-F(x)\right)dx}{\left(1-F(y)\right)}$

$\mathbb{E}\left(x|x\leq y\right)=y-\frac{\int_{-\infty}^{y}F(x)dx}{F(y)}$

La derivación se apoya en el post anterior de manera que primero definimos la siguiente integral, $\int_{y}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{y}^{\infty} + \int_{y}^{\infty} x f(x)dx$

$\int_{y}^{\infty} x f(x)dx=\mathbb{E}\left(x|x\geq y\right)(1-F(y))$

Entonces, utilizando esta definición y algo de álgebra llegamos al primer resultado. El segundo resultado se puede obtener de la misma manera.