Hallar el valor esperado mediante la FCD

Question

Voy a empezar diciendo que este es un problema de deberes directamente del libro. He pasado un par de horas buscando cómo encontrar los valores esperados, y he determinado que no entiendo nada.

Dejemos que $X$ tienen el CDF $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$ .
Encuentre $E(X)$ para aquellos valores de $\alpha$ para lo cual $E(X)$ existe.

No tengo ni idea de cómo empezar esto. ¿Cómo puedo determinar qué valores de $\alpha$ ¿Existe? Tampoco sé qué hacer con la FCD (supongo que significa Función de Distribución Acumulativa). Hay fórmulas para encontrar el valor esperado cuando se tiene una función de frecuencia o de densidad. Wikipedia dice que la FCD de $X$ puede definirse en términos de la función de densidad de probabilidad $f$ de la siguiente manera:

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Hasta aquí llegué. ¿A dónde voy a partir de aquí?

EDIT: Quise poner $x\ge1$ .

Answer 1

No es necesario utilizar la función de densidad

Integrar 1 menos la CDF

Cuando se tiene una variable aleatoria $X$ que tiene un soporte que no es negativo (es decir, la variable tiene una densidad/probabilidad no nula sólo para valores positivos), puede utilizar la siguiente propiedad:

$$ E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x $$

Una propiedad similar se aplica en el caso de una variable aleatoria discreta.

Prueba

Desde $1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$ ,

$$ \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x $$

A continuación, cambie el orden de integración:

$$ = \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t $$

Reconociendo que $t$ es una variable ficticia, o tomando la simple sustitución $t=x$ y $\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$ ,

$$ = \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X) $$

Atribución

Utilicé el Fórmulas para casos especiales sección del Valor esperado artículo sobre Wikipedia para refrescar mi memoria sobre la prueba. Esa sección también contiene pruebas para el caso de la variable aleatoria discreta y también para el caso de que no exista una función de densidad.

Answer 2

El resultado se extiende al $k$ momento de $X$ también. He aquí una representación gráfica:

Answer 3

Editado por el comentario de probabilityislogic

Tenga en cuenta que $F(1)=0$ en este caso por lo que la distribución tiene probabilidad $0$ de ser menos que $1$ Así que $x \ge 1$ y también necesitarás $\alpha > 0$ para una cdf creciente.

Si tienes la cdf entonces quieres la anti-integral o derivada que con una distribución continua como esta

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

y a la inversa $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$ para $x \ge 1$ .

Entonces, para encontrar la expectativa hay que encontrar

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

siempre que esto exista. Le dejaré el cálculo a usted.

Answer 4

Creo que en realidad quieres decir $x\geq 1$ de lo contrario la FCD es vacía, ya que $F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$ .

Lo que se "sabe" de los FCD es que eventualmente se acercan a cero como el argumento $x$ disminuye sin límite y finalmente se acerca a uno como $x \to \infty$ . También son no decrecientes, por lo que esto significa $0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$ para todos $y\leq x$ .

Así que si introducimos la CDF obtenemos:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

De esto concluimos que el apoyo a $x$ es $x\geq 1$ . Ahora también necesitamos $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ lo que implica que $\alpha>0$

Para saber qué valores tiene la expectativa, necesitamos:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

Y esta última expresión muestra que para $E(X)$ para existir, debemos tener $-\alpha<-1$ que a su vez implica $\alpha>1$ . Esto puede ampliarse fácilmente para determinar los valores de $\alpha$ para lo cual el $r$ 'el momento crudo $E(X^{r})$ existe.

Answer 5

La respuesta que exige el cambio de orden es innecesariamente fea. Aquí hay una prueba más elegante de 2 líneas.

$\int udv = uv - \int vdu$

Ahora toma $du = dx$ y $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$