Serie de Grandi con 3 números

Question

Así, resulta que dado cualquier número X, donde S = X-X+X-X..., la suma (S) es siempre X/2.

Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos una serie como la siguiente?

3-2-1 + 3-2-1 + 3-2-1 ...

¿Cómo se puede calcular esto?

Answer 1

He aquí un método de suma: dejemos que $(a_n)_{n\geq0}$ sea una secuencia acotada de números reales (o complejos). Definimos $$S\bigl((a_n)_{n\geq0}\bigr)=\lim_{x\to1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$$ (si existe este límite). Obsérvese que, como hemos supuesto que la secuencia $(a_n)_{n\geq0}$ está acotado, el radio de convergencia de la serie de potencias $\sum_n a_n z^n$ es al menos $1$ para que el límite tenga sentido (pero puede no existir).

En el caso de la serie de Grandi: es bien sabido que para $x\in(-1,1)$ , $$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n x^n=\frac1{1+x}\underset{x\to1^-}\to\frac12,$$ para que $S\bigl(((-1)^n)_{n\geq0}\bigr)=1/2$ .

Ahora define la secuencia $(a_n)_{n\geq0}$ como $$\forall p\geq0,\ \begin{cases}a_{3p}=3\\a_{3p+1}=-2\\a_{3p+2}=-1.\end{cases}$$ La secuencia $(a_n)_{n\geq0}$ está obviamente acotada, por lo que la serie de potencias correspondiente tiene un radio de convergencia no inferior a uno. Para $x\in(-1,1)$ , $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=3\sum_{p=0}^{+\infty}x^{3p}-2\sum_{p=0}^{+\infty}x^{3p+1}-\sum_{p=0}^{+\infty}x^{3p+2}=\frac{3-2x-x^2}{1-x^3}=\frac{x+3}{x^2+x+1}\underset{x\to1^-}\to\frac43.$$ Así que $4/3$ parece ser un valor legítimo para su suma. Nótese que con la suma de Cesaro obtendríamos la misma respuesta.

Answer 2

Observa que las sumas parciales son periódicas:

$$\begin{align}S_1&=3\\S_2&=1\\S_3&=0\\\vdots\ &\phantom{mn}\vdots\end{align}$$

Así, la suma de Cesaro es la media del primer período de plazos:

$$S=\frac{3+1+0}3=\frac43$$

Lo que coincide con la respuesta de gniourf_gniourf.