Un anillo local regular es un dominio. Es un habitual de anillo (anillo cuya localización en cada una de las prime ideal es regular) también de un dominio? Soy incapaz de encontrar/construir una prueba o un contraejemplo. Cualquier ayuda se agradece.
Respuesta
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No. E. g. elija dos dominios regulares y llevar su producto; esto va a ser regular, pero no de un dominio.
Esto es más o menos el caso general, como voy a explicar: En general, un Noetherian anillo, cuyas localizaciones en su primer ideales son los dominios, es un producto finito de dominios (y, por supuesto, un producto finito de dominios tiene esta localización la propiedad). Por lo regular Noetherian anillo será un producto finito de dominios regulares (y a la inversa cualquier producto será regular).
Geométricamente, uno puede pensar en esto como sigue: la regularidad de $A$ es una propiedad local en Espec $A$, y Espec $A\times B$ es igual a Espec $A \coprod$ Espec $B$. Así que localmente Espec $A\times B$ parece bien Espec $A$ o Espec $B$. En particular, propiedades locales, tales como la regularidad (o la condición de que la localización en el prime ideales de un dominio) no pueden detectar las propiedades globales (como $A$ sí siendo un dominio).
