Encontrar F ' (y)

Question

Esta pregunta me parece engañosamente sencilla, así que me preguntaba si alguien por ahí podría aclararme si realmente es lo que creo que es o si me he perdido por completo. Dejemos que $$F(y) = \int^1_0 f(x,y) dx$$

$$ f(x,y)= \left\{ \begin{array}{c} \sin{xy},\,\, x\ne 0 \\ y,\,\, x=0 \\ \end{array} \right. $$

Encuentre $F ' (y).$

La forma en que lo veo es que por la teoría fundamental del cálculo $F'(y)=f(x,y)$ . Sin embargo, como el intervalo $ [0,1]$ debe ser considerado, creo, no sé qué hacer. ¿Alguien puede ayudarme? Es una pregunta tan molesta y sencilla que me está fastidiando

Answer 1

Utilizando Regla integral de Leibnitz

$$F'(y) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) \,dx $$

Answer 2

El objetivo de este problema es desordenar un poco tu mente. Piensa en ello: Para cada fijo $y,$ se tiene un integrando igual a $\sin(xy), x\in (0,1],$ y algo más cuando $x=0.$ No importa lo que hayas definido en $x=0.$ Se podría definir $f(0,y)$ sea una función arbitraria de $y$ y obtendrías la misma respuesta al salir de la integral.

Así que sólo hay que hacer la integral $\int_0^1 \sin (xy)\,dx.$ Obtendrá una función de $y$ de eso. Entonces, diferéncialo.

PD: No, la FTC no da lo que has escrito.